پایه (جبر خطی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
یک بردار مشابه را می‌توان در دو پایه متفاوت نمایش داد (پیکان‌های ارغوانی و قرمز).

در ریاضیات، مجموعه B از بردارها در یک فضای برداری V موقعی پایه[۱] (به انگلیسی: basis) نامیده می‌شود که هر عنصر از V را بتوان «به صورت یکتا» به صورت ترکیب خطی عناصر B نوشت. ضرایب این ترکیب خطی مولفه‌ها یا مختصات آن بردار از دیدگاه B نامیده می‌شوند. به عناصر پایه بردارهای پایه گفته می‌شود.

به بیان دیگر، یک مجموعه B موقعی پایه است که اگر عناصرش به صورت خطی مستقل باشد و نیز هر عنصر V یک ترکیب خطی از عناصر B باشد.[۲] به زبان دیگر، یک پایه یک مجموعه پوششی به صورت خطی مستقل است.

یک فضای برداری می‌تواند چندین پایه داشته باشد؛ با این حال، همه پایه‌ها تعداد عناصرشان یکسان است، که به آن بعد فضای برداری گفته می‌شود.

این مقاله در اصل با فضاهای برداری متناهی-بعد سروکار دارد. با این حال، بیشتر این اصول برای فضاهای برداری با ابعاد نامتناهی هم درست اند.

در جبر خطی منظور از یک پایه (Basis) برای یک فضای برداری مجموعه از بردارهای موجود در آن فضا است که دو خاصیت زیر را دارا باشد:

  1. هیچ‌کدام از بردارهای مجموعه را نتوان به صورت ترکیب خطی بقیه نوشت، یا به زبان ساده‌تر، بردارها به‌طور خطی از هم مستقل باشند.
  2. هر بردار دیگر در فضای برداری را بتوان از ترکیب خطی این بردارها به دست آورد.

پایه‌های متعامد

مقالهٔ اصلی: پایه‌های متعامد

در مورد این پایه‌ها هر بردار موجود در مجموعه بر تمامی بردارهای دیگر آن عمود است.

پایه‌های یکامتعامد

پایه‌های متعامدی هستند که طول تک تک بردارهای آن با هم برابر و برابر ۱ است. برای به دست آوردن یک پایهٔ متعامد (و همچنین یک پایهٔ یکا متعامد) از یک پایهٔ مرتب از الگوریتم گرام-اشمیت استفاده می‌شود.

پانویس

  1. «پایه» [ریاضی] هم‌ارزِ «basis, base»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ پایه3)
  2. Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Basis (linear algebra)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۶ نوامبر ۲۰۲۱.

  • Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8