فضای ضرب داخلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

با توجه به مفهوم ضرب داخلی و یک فضای برداری، فضای ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner product space) عبارتست از یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط) با ضرب داخلی‌ای مشخص بر روی آن.


ضرب‌های داخلی[ویرایش]

مثالی از ضرب داخلی، همان ضرب نقطه‌ای یا اسکالری بردارها در است.ضرب اسکالری بردارهای و در عبارت است از:

از نظر هندسی، این ضرب نقطه‌ای عبارت است از حاصل ضرب طول در طول در کسینوس زاویه‌ی بین و . بنابراین مفاهیم طول و زاویه را در می‌توان با ضرب اسکالری که به طور جبری تعریف می‌شود نیز تعریف کرد. حال تعریف ضرب داخلی را بسط می‌دهیم.

تعریف[ویرایش]

فرض کنیم F هیئت اعداد حقیقی یا هیئت اعداد مختلط و V فضایی برداری برروی F باشد.یک ضرب داخلی روی V تابعی است که به هر جفت مرتب از بردارهای و اسکالری چون در F را طوری اختصاص می‌دهد که به ازای همه‌ی ها، ها و های در V و همه‌ی اسکالرهای c داشته باشیم:

1.

2.

3.

4.

البته اگر در فضای مختلط باشد ویژگی سوم با ویژگی زیر عوض می شود.

3.

ویژگی اول و دوم به خطی بودن رابطه مربوط اند.

خاصیت های ضرب داخلی[ویرایش]

مفاهیمی نظیر طول و تعامد به‌وسیله ضرب داخلی روی فضا تحمیل می‌شوند.

به یک فضای ضرب داخلی مختلط فضای یکانی و به یک فضای ضرب داخلی حقیقی با بعد متناهی یک فضای اقلیدسی می‌گویند.

طبق یک قضیه اگر یک فضای ضرب داخلی باشد آنگاه به ازای هر دو بردار و در و هر اسکالر :

  • به ازای ،
  • (نابرابری کوشی-شوارتز)


جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • کنت هافمن (۱۳۸۵جبر خطی، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۳۶۰، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X