پوشش خطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در تصویر در فضای سه‌بعدی به صورت یک صفحه نمایش داده شده. مختصات هر نقطه در این صفحه را می‌توان به شکل ترکیب خطی از نوشت: یعنی قدم به اندازهٔ به راست و قدم به اندازهٔ به جلو ما را از مبدأ به نقطهٔ مورد نظر می‌رساند. اسپن را می‌توان به این صورت تصور کرد: مجموعهٔ تمام نقاطی که با استفاده از قدم‌زدن با این بردارها بتوان به آنها دست یافت.

در ریاضیات، اسپن یا پوشش خطی (به انگلیسی: linear span) یا گسترهٔ مجموعهٔ از بردارهای یک فضای برداری با نشان داده می‌شود.[۱] گسترهٔ یک مجموعه برابر مجموعهٔ تمام بردارهایی است که از ترکیب‌های خطی عناصر ‌‌‌ به دست می‌آیند.[۲] پوشش‌ها را می‌توان به میترویدها و مدول‌ها تعمیم داد.

برای بیان معمولاً از این اصطلاحات استفاده می‌شود: مولد است؛ گسترهٔ است؛ فضای را پوشش می‌دهد؛ فضای را تولید می‌کند؛ فضای توسط پوشش داده می‌شود؛ فضای توسط تولید می‌شود؛ یک مجموعه پوششی برای است.

تعریف[ویرایش]

اگر در فضای برداری بر روی میدان مجموعهٔ مولد زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای باشد، مجموعهٔ تمام بردارهایی که از ترکیب خطی عناصر ‌‌‌ به دست می‌آیند تعریف می‌شود:[۲]

همچنین اسپن را می‌توان به صورت معادل «اشتراک همه زیرفضاهای برداری که شامل هستند»، یا به صورت «کوچکترین زیرفضای برداری شامل این مجموعه» تعریف کرد.[۳]

نتایج و قضایا[ویرایش]

  • از روی هر تعریف، تعاریف معادل دیگر نتیجه می‌شوند.
  • اگر در فضای برداری مجموعهٔ مولد زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای باشد، زیرفضای برداری است.[۲]

منابع[ویرایش]

  1. (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ Linear Algebra and Its Applications. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
  3. (Axler 2015) p. 29, § 2.7

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Linear span». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۷ نوامبر ۲۰۲۱.

وب[ویرایش]

  • "Linear hull". دائرة المعارف ریاضیات. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: نگهداری CS1: url-status (link)