کوواریانس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه احتمالات کواریانس یا هم‌وردایی[۱] (به انگلیسی: Covariance)، اندازه تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر واریانس خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که امید ریاضی آنها \scriptstyle E(X)=\mu\, و \scriptstyle E(Y)=\nu\, هستند، کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

\operatorname{Cov}(X, Y) =\operatorname{E}{\big[(X - \operatorname{E}[X])(Y - \operatorname{E}[Y])\big]}= \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu))\,

چنانکه دو متغیر تصادفی ناوابسته باشند، کواریانس آنها صفر خواهد بود.

خواص کواریانس[ویرایش]

اگر  X ,Y ,W , V متغیر های تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و  a ,b ,c ,d اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کواریانس برقرار است:

\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,
\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\,
\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,
\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,

میتوانیم با استفاده از تعریف کواریانس رابطه ای برای محاسبه ی آن پیدا کنیم

\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))\cdot (Y-\operatorname{E}(Y))\right) = \operatorname{E}(X \cdot Y) -\operatorname{E}(X)\cdot \operatorname{E}(Y)[۲]

ناهمبستگی و استقلال[ویرایش]

اگر کواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده میشوند. [۳] اگر دو متغیر تصادفی  X , Y مستقل باشند آنگاه کواریانس آنها صفر است .این موضوع را میتوان به این صورت نتیجه گرفت :

چون \operatorname{E}(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y).
\operatorname{Cov}(X, Y) = 0 \,

عکس این موضوع صحیح نیست، یعنی ممکن است کواریانس دو متغیر تصادفی صفر باشد ولی آن دو متغیر تصادفی مستقل نباشند. [۴]

ماتریس کوواریانس[ویرایش]

اگر X را ۱*n و Y را m*۱ در نظر بگیریم انگاه:
'[Cov(X,Y) = E[(X -E[X])(Y - E[Y])'] =E[X Y'] - E[X]E[Y
به گونه ای که عضو i،j برابر وردای (کواریانس)iامین عضو X و j امین عضو Y می باشد.

واژه شناسی[ویرایش]

فرهنگستان زبان وردیدن، از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای واریانس برگزیده است و از این فعل مشتقات وردش(variation)، وردا(variant)، هم‌وردا(covariant)، ناوردا(invariant)، پادوردا(contravariance) را برساخته است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. مشتقات این واژه مصوب فرهنگستان زبان و ادب فارسی است.
  2. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Covariance&oldid=437761640
  3. Introduction to Probability Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition
  4. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Covariance&oldid=437761640
  • سعید رضاخواه. آمار و احتمال کاربردی. چاپ اول اسغند ۱۳۷۹. انتشارات دانشگاه امیر کبیر. ۷۷. ISBN 964-463-091-2 (کتابخانه ملی : م۷۹-۲۰۶۷۴). 
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Covariance»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۰ آوریل ۲۰۰۹).