معادله دیفرانسیل تصادفی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

یک معادله ی دیفرانسیل تصادفی یا Stochastic Differential Equation یا SDE معادله ای است که در آن یک یا چند متغیر یک فرایند تصادفی هستند. در نهایت جواب این نوع معادلات خود نیز یک فرایند تصادفی هستند. استفاده از SDE ها در مدل سازی های پیچیده ی احتمال بسیار گسترده است؛ از جمله در مدل سازی هزینه ی نوسانات بازار یا مدل سازی فیزیکی نوسانات دمایی اشیا. معمولاً در این گونه مدل سازی ها از نویز سفید به عنوان پارامتر کاملاً تصادفی استفاده می شود که خود نوعی از فرایند تصادفی وینر (Wiener Process) است. اگرچه باید گفت که در مدل سازی تصادفی پارامترها در یک معادله ی دیفرانسیل تصادفی، استفاده از سایر فرایند های تصادفی نیز امکان پذیر است.

پیشینه[ویرایش]

قدیمی ترین کار در مورد SDE برای توصیف مقاله ی مشهور آلبرت اینشتین برای توصیف حرکت براونی انجام شد. اگرچه همزمان کارهایی هم توسط افراد دیگر در زمینه ی های مشابه انجام می شده است.

حل عددی[ویرایش]

پاسخ عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی، بخصوص معادلات دیفرانسیل تصادفی پاره ای، به نسبت نسخه های غیرتصادفی، زمینه ای بسیار جدید است. تقریباً اکثر الگوریتم هایی که جواب های نسبتاً مناسبی برای معادلات دیرنسیل معمولی به دست می دهند، جواب هایی بسیار ضعیف در برابر نسخه ی تصادفی آن دارند. یکی از مشهورترین کتاب ها برای این دسته از مساله ها، کتاب Kloeden & Platen (1995) است. از جمله ی راه حل های معرفی شده، روش اویلر-مارویاما (Euler–Maruyama method)، روش میلستین (Milstein method) و روش رنگه-کوتا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی (Runge–Kutta method (SDE)) هستند.

کاربرد در فیزیک[ویرایش]

معمولاً در فیزیک این معادلات به صورت معادلات لانگوین (Langevin equation) نوشته می شوند. به عنوان مثال، نمونه ای از معادلات دیفرانسیل تصادفی درجه اول به فرم زیر نوشته می شوند:

\dot{x}_i = \frac{dx_i}{dt} = f_i(\mathbf{x}) + \sum_{m=1}^ng_i^m(\mathbf{x})\eta_m(t),\,

که در آن \mathbf{x}=\{x_i|1\le i\le k\} مجموعه ای از مجهولات، f_i و g_i توابعی دلخواه، \eta_m توابع تصادفی از زمان هستند که معمولاً نویز نامیده می شوند.

منابع[ویرایش]

  • Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. 
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. 
  • Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. 
  • C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415. 
  • Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7. 
  • Seifedine Kadry, (2007). A Solution of Linear Stochastic Differential Equation. USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007. p. 618. ISSN 1109-2769. 
  • Bachelier, L., (1900). Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0. In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner. 
  • P.E. Kloeden and E. Platen, (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations,. Springer,.