کروشه پواسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون (Poisson bracket) عمل‌گری عمده در مکانیک هامیلتونی است. کروشه پواسون همچنین ارتباط مستقیمی بین مکانیک کوانتم و مکانیک کلاسیک برقرار می کنند.

مختصات استاندارد[ویرایش]

در مختصات ذاتی (q_i,p_j) \! برروی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض f(p_i,q_i,t) \! و g(p_i,q_i,t) \! در فضای فاز و زمان، فرم زیر را به‌خود می‌گیرد:


\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ 
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right]

معادلات حرکت هامیلتون[ویرایش]

معادلات ژاکوبی-هامیلتون را می‌توان بر حسب کروشهٔ پواسون به‌صورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را می‌شود به طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می‌کنید f(p,q,t) \! تابعی است بر روی یک خمینه. آنگاه داریم:


\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + 
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}

چنانچه p=p(t) \! و q=q(t) \! را جواب‌های معادلات هامیلتون-ژاکوبی \dot{q}={\partial H}/{\partial p} و \dot{p}=-{\partial H}/{\partial q} در نظر بگیریم خواهیم داشت:


\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} -
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = 
\frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}


خواص و ویژگی‌های کروشه پواسون[ویرایش]

پاد متقارن بودن:

\{F,G\}=-\{G,F\}

یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که \{F,F\}=0 که برای هر تابعی برقرار است.

خطی بودن:

\{F_1+F_2,G\}=\{F_1,G\}+\{F_2,G\}

ثوابت حرکت[ویرایش]

کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابت‌های حرکت نشان می دهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد، F(q_i,p_i)، و مقدارش برای هر ذره ای ثابت است. به بیان دیگر F(q_i,p_i) ثابت حرکت است اگر که  \frac{dF}{dt}=0 باشد. چون ما بیان کردیم که تابع F وابستگی صریح به زمان ندارد یعنی  \frac{\partial F}{\partial t}=0 است، پس این تعریف از ثابت حرکت به این معناست که:


F ثابت حرکت است اگر و تنها اگر برای تمام نقاط در فضای فاز داشته باشیم:  \{F,H\}=0

چند مثال از کاربرد براکت پواسون[ویرایش]

ثابت‌های حرکت آشنا را می توان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:

انرژی:[ویرایش]

دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون \{H,H\}=0 . با استفاده از این ویژگی به این نتیجه می رسیم که:

\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}

در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته می ماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.

تکانه خطی:[ویرایش]

در حالتی که هامیلتونین شامل یک مختصه تعمیم یافته خاص، q_k، نباشد، با استفاده از تعریف فوق خواهیم داشت:

\{p_k,H\}=-\frac{\partial H}{\partial q_k}

بنابراین p_k ثابت حرکت است. تکانه پایسته می ماند اگر مختصه تعمیم یافته متناظرش q_k در هامیلتونین ظاهر نشده باشد.

منابع[ویرایش]

  • Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, New York. ISBN 978-0-387-96890-2

Goldstein H. Classical mechanics. Cambridge, MA: Addison-Wesley, 1950.

عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگترین مقسوم علیه مشترک
کوچکترین مضرب مشترک

ترکیباتی

( ) ضریب بینم
A جایگشت

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

برداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر