کار (فیزیک)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در فیزیک، کار مکانیکی مقدار انرژی‌ای است که توسط یک نیرو در حال اثر طی یک فاصله انتقال می‌یابد. کار مانند انرژی کمیتی نرده‌ای است و یکای آن در SI ژول است. واژهٔ کار نخستین بار توسط یک ریاضی‌دان فرانسوی به نام گاسپارد-گوستاو کوریولیس (به فرانسه Gaspard-Gustave Coriolis)در سال ۱۸۳۰ به کار برده شد.[۱][۲]

بر اساس قضیهٔ کار-انرژی اگر نیروی خارجی به جسمی اثر کند و انرژی جنبشی‌اش را از Ek1 به Ek2 بیفزاید، کاری که روی جسم انجام شده (W) برابر است با:[۳]

W = \Delta E_k = E_{k_2} - E_{k_1} = \tfrac12 m (v_2^2 - v_1^2) \,\!

در این‌جا m جرم ذره و v سرعت آن است.

کار مکانیکی انجام‌شده روی جسم برابر است با ضرب نقطه‌ای نیروی واردشده (F) و جابه‌جایی جسم (d). یعنی:

W = \mathbf{F}\cdot \mathbf{d}=Fd \cos\theta.  \,\!

اگر نیرو و جابجایی در یک راستا و یک جهت باشند (\theta = ۰⁰)، کار مکانیکی مثبت خواهد بود. اگر کار و نیرو هم راستا باشند اما در جهت مخالف باشند(\theta = ۱۸۰⁰)، کار مکانیکی منفی خواهد بود. اگر یک نیرو مانند F با زاویه \theta اعمال شود، تنها بخشی از نیرو که هم راستای جابجایی است (F\cos\theta) کار انجام می دهد؛ بنابراین اگر نیرو عمود بر راستای جابجایی وارد شود (\theta = ۹۰⁰ یا ۲۷۰⁰) کاری توسط نیرو انجام نشده است یا کار برابر صفر خواهد بود.

تعریف کار[ویرایش]

روابط مفید و متعددی از تعریف کار بعنوان یک کمیت و موجودیت فیزیکی روشن، تبعیت می نماید. در صورتیکه بر جسمی با جرم معین نیرویی در خلال یک فاصله زمانی دیفرانسیلی اعمال شود و در آن تغییر مکان ایجاد نماید، کار انجام شده بتوسط نیرو بوسیله معادله dW=Fdl داده می‌شود که زمانیکه با قانون دوم نیوتن ترکیب شود خواهد شد : dW=madl با تعریف شتاب a=du/dt که u سرعت جسم است، خواهیم داشت

dW=m \frac{du}{dt} dl

که ممکن است چنین نوشته شود :

dW=m \frac{dl}{dt} du

از آنجائیکه بر حسب تعریف سرعت، معادله برای کار : dw=mudu حال از این معادله ممکن است برای یک تغییر معین از سرعت اولیه (u_1) تا سرعت نهایی (u_2)انتگرال گیری نمود

W=m\int_{u_1}^{u_2} udu=m(\frac{u_2^2}{2} - \frac{u_1^2}{2}) : معادلهٔ (۱)

جایی که مسافت پیموده شده توسط جسم Δx و انرژی اعمال شده به آن F است. توجه کنید که کار می‌تواند مثبت یا منفی باشد. کار مثبت است اگر جسم عملی روی حرکت در همان جهت همانند نیرو انجام دهد. کار منفی اتفاق می‌افتد اگر حرکت جسم بر خلاف نیرو باشد. این معادله این را فرض می‌کند که نیرو در کل جابه جایی پایدار (ثابت) می‌ماند (آثار نیرو در کل جابه جایی ثابت است). اگر این طور نیست پس شکستن جابه جایی به شماری از جابه جایی‌های کوچک لازم است. روی هر کدام که نیرو بتواند برای ثابت شدن فرض شود. مجموع کارها از آن به بعد حاصل جمع کارهای پیوسته با هر یک از جابه جایی‌های کوچک است. در اندازه غیر قابل سنجش (بی اندازه کوچک) مجموع کارها درست و بی کسر می‌شود.

W=\int F(s)\,ds

اگر بیشتر از یک نیرو روی یک جسم اعمال شود کارها به واسطه نیروهای متفاوت هر اضافه کردن یا تفریق کردن انرژی به اینکه چه مثبت هستند چه منفی بستگی دارد. مجموع کار مجموع این کارهای انفرادی است. دو مورد ویژه وجود دارد جایی که آن کار انجام شده روی جسم به کمیت‌های دیگر برگردد. اگر F مجموع کارهای انجام شده روی جسم است پس به کمک قانون دوم نیوتن W=FΔx=mΔx·a . با این وجود a=dv/dt جایی که V سرعت جسم است و Δx≈vΔt جایی که Δt زمان مورد نیاز برای حرکت جسم از طریق مسافت Δx است. زمانی مقدار تقریبی واقعی و قطعی می‌شود که Δx و Δt خیلی کوچک شوند. برای نتیجه گیری همه اینها را کنار هم بگذارید

W_{total}=m\frac{dv}{dt}v\Delta t=\Delta t \frac{d}{dt} \frac{mv^2}{2}

ما کمیت mv۲/۲ را Kinetic energy یا K یا انرژی جنبشی می‌گویند. آن میزان کار ذخیره شده همانند حرکت است پس ما می‌توانیم بگوییم:

W_{total}=\frac{dK}{dt}\Delta t=\Delta K

زمانیکه F تنها نیرو است مجموع کار روی جسم، تغییرات انرژی جنبشی جسم را برابر می‌کند. موارد مخصوص دیگر زمانی اتفاق می‌افتد که نیرو فقط به موقعیت بستگی دارد اما لازم نیست که مجموع نیرو روی جسم انجام شود. در این مورد ما می‌توانیم یک تعریف عملی داشته باشیم

V(x)=-\int^x F(s)\,ds

و کار انجام شده به وسیله نیرو در حرکت کردن از x۱ به x۲ ، V(x۱)-V(x۲) است. سرعت و کندی حرکت جسم اهمیت ندارد.

اگر نیرو شبیه این است به آن محافظه کار conservative گفته می‌شود و به V انرژی پتانسیل (نهانی) گفته می‌شود.

F=-\frac{dV}{dx}

نماد منفی در این معادلات صرفاً قراردادی است. اگر یک نیرو پتانسیل است ما می‌توانیم کار انجام شده توسط آن را همانند

W=-\frac{dV}{dx}\Delta x= -\Delta V

جایی که تغییر در انرژی پتانسیل جسم با نیروی مفید پیوسته شود بنویسیم.

واحدها[ویرایش]

در سامانه استاندارد بین‌المللی یکاها یا SI واحد کار ژول (J) است؛ یک ژول برابر کار انجام شده توسط نیرویی برابر یک نیوتن است که جابجایی برابر یک متر ایجاد می کند. این تعریف براساس تعریف سعدی کارنو در سال ۱۸۲۴ با عنوان وزن بلند شده در یک ارتفاع بیان شده است؛ که خود برآمده از این واقعیت است که در گذشته از انرژی بخار برای جابجایی بارهای سنگین استفاده می شده است. برای واحد اندازه گیری کار گاهی از نیوتن متر (N.m) نیز استفاده می کنند البته واحد اندازه گیری گشتاور نیز نیوتن متر است درنتیجه برای نشان دادن تفاوت بین کار و انرژی با گشتاور، برای گشتاور بیشتر از نیوتن متر استفاده می شود.

از واحدهای غیر SI کار می توان از ارگ، پوند فوت و ... نام برد.
رسانش گرما کار شمرده نمی‌شود، زیرا انرژی در رسانش از راه لرزش‌های اتمی منتقل می‌شود و نه با جابه‌جایی بزرگ‌مقیاس.

کار صفر[ویرایش]

حتی با بودن نیرو، کار ممکن است صفر باشد. مثلاً نیروی مرکزگرا در حرکت دایره‌ای هیچ کاری انجام نمی‌دهد، زیرا راستای نیرو بر راستای حرکت جسم عمود است و انرژی جنبشی جسم ثابت باقی می‌ماند. همچنین وقتی که کتابی روی میز ساکن است، میز (که نیرویی برابر وزن کتاب روبه‌بالا به آن وارد می‌کند) هیچ کاری روی کتاب انجام نمی‌دهد، زیرا جابه‌جایی وجود ندارد.

محاسبات ریاضی[ویرایش]

نیرو و جابجایی[ویرایش]

کار و جابه‌جایی هر دو کمیت‌های برداری‌اند. ضرب نقطه‌ای (ضرب داخلی) این دو، کمیت نرده‌ای کار را می‌دهد:

W = \bold{F} \cdot \bold{d} = F d \cos\phi             (1)

در رابطهٔ بالا \textstyle\phi زاویهٔ بین نیرو و جهت جابه‌جایی است. این رابطه تنها وقتی درست است که اندازهٔ نیرو و جهت آن ثابت بماند. مسیر حرکت ذره همیشه باید روی یک خط راست بماند، هرچند که جهت حرکتش می‌تواند عوض شود.

جاهایی که نیرو با گذشت زمان تغییر می‌کند، یا راستای حرکت خط راست نیست، معادلهٔ (۱) همیشه درست نیست. هر چند که می‌توان مسیر حرکت را به گام‌های کوچکی تقسیم کرد که در هر گام بردار نیرو تقریباً ثابت بماند، و کار کل را از جمع کارهای این گام‌ها محاسبه کرد. اما رابطهٔ کلی کار مکانیکی با انتگرال زیر داده می‌شود:

W_C := \int_{C} \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{s}             (2)

که در آن

\textstyle _C خم یا مسیری است که جسم روی آن حرکت می کند،
\bold F بردار نیرو
\bold s بردار تغییر مکان جسم است.

عبارت \delta W = \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{x} یک دیفرانسیل ناکامل است، به این معنی که محاسبه \textstyle{ W_C} وابسته به مسیر است و دیفرانسیل آن \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{x} نمی شود. معادله ۲ نشان می دهد که چگونه کار نیروی غیر صفر می تواند برابر صفر شود. ساده ترین مورد زمانی است که نیرو عمود بر جابجایی است درنتیجه انتگرال عبارت همواره برابر صفر می شود مانند حرکت چرخشی.

وجود این امکان که یک نیروی غیر صفر کار صفر انجام دهد، تفاوت میان دو کمیت کار و ضربه را مشخص می‌کند. ضربه برابر است با انتگرال نیرو در زمان، از طریق ضربه ما می توانیم تغییرات اندازه حرکت جسم را بدست آوریم، یک بردار کمیتی حساس به جهت، درحالی که، کار تنها بزرگی سرعت را بررسی می کند. به طور مثال یک جسم در حرکت دایره ای یکنواخت که نصف دایره را طی کرده، نیروی جانب مرکز آن کاری انجام نداده درحالی که ضربه در آن ناصفر است.

گشتاور و دوران[ویرایش]

کار انجام شده توسط یک گشتاور (لنگر) به روش مشابه محاسبه می‌شود. اگر گشتاور \tau\; طی \theta\; رادیان جابجایی دورانی وارد شود، کار انجام شده به این ترتیب محاسبه می‌شود:

W= \tau \theta\

قضیه کار-انرژی[ویرایش]

اصل کار و انرژی جنبشی (یا همان قضیه کار-انرژی) بیان می‌کند که کار انجام شده توسط همه‌ی نیروهای وارد شده بر یک ذره (کار نیروی کل) برابر با تغییر در انرژی جنبشی ذره است. این تعریف را می‌توان با در نظر گرفتن کار گشتاور کل و انرژی جنبشی دورانی، از ذره به جسم صلب تعمیم داد. [۴]

این اصل را می‌توان چنین نوشت:

W=\Delta E_k=\tfrac12mv_2^2-\tfrac12mv_1^2

به دست آوردن اصل کار-انرژی برای ذره[ویرایش]

در حالت کلی برای نیروی وارد بر ذره در حال حرکت در مسیری خمیده، می‌توان قضیه‌ی کار-انرژی را چنین نوشت:

W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = m \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}dt = \frac{m}{2} \int_{t_1}^{t_2} \frac{d v^2}{dt}\,dt = \frac{m}{2} \int_{v^2_1}^{v^2_2} d v^2 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta {E_k}

برای به دست آوردن رابطه‌ی \textstyle \mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \frac{d v^2}{dt} داریم:

\textstyle v^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}

\textstyle \mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt}

 \frac{d v^2}{dt} = \frac{d (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{dt} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \frac{d \mathbf{v}}{dt} = 2 \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}

چارچوب مرجع[ویرایش]

کاری که یک نیرو روی جسمی انجام می‌دهد، بستگی به چارچوب مرجع دارد، زیرا مسافت عمل نیرو به چارچوب مرجع بستگی دارد. بنابر قانون سوم نیوتن نیروی عکس‌العملی هم هست که کاری در جهت مخالف انجام می‌دهد. می‌توان نشان داد که کار کل همیشه مستقل از چارچوب مرجع است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Jammer, Max (1957). Concepts of Force. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-40689-X. 
  2. Sur une nouvelle dénomination et sur une nouvelle unité à introduire dans la dynamique, Académie des sciences, August 1826
  3. فرانک ج. بلت. فیزیک پایه. ج. جلد یکم. ترجمهٔ مهران اخباریفر. تهران: مؤسسهٔ انتشارات فاطمی، ۱۳۷۴. 
  4. Andrew Pytel, Jaan Kiusalaas (2010). Engineering Mechanics: Dynamics - SI Version, Volume 2 (3rd ed.). Cengage Learning,. p. 654. ISBN 9780495295631.