نظریه عمل‌گرها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، مطالعه و نظریهٔ عمل‌گرها (Operator theory) بخشی مرکزی و عمده را در آنالیز تابعی به خود اختصاص می‌دهد.

کاربردها[ویرایش]

عمده‌ترین کاربردهای عمل‌گرها را باید در فیزیک، مکانیک، و به ویژه مکانیک کوانتومی سراغ گرفت.

مثال‌ها[ویرایش]

مشتق‌گیری[ویرایش]

عمل مشتق‌گیری از توابع پیوسته و مشتق‌پذیر ریاضی را می‌توان از جملهٔ ساده‌ترین نمونه‌های مورد بررسی و بحث در این مقاله به حساب آورد:

\frac{d}{dx} f(x) = g(x) \!

در این مورد عمل‌گر \frac{d}{dx} \! بر روی تابع f(x) \! عمل نموده و تابع g(x) \! را نتیجه داده است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

عمل جابجایی

منابع[ویرایش]

  • Riesz, F. and Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis, Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66289-6

پیوندهای بیرونی[ویرایش]

ویژگی ابردوری بودن، اولین باردرسال1929 دریکی از کارهای بیرهوف مشاهده شده است، وی به وجود تابع تام که انتقال هایش در فضای توابع تحلیلی چگال است پی برد. سپس دانشمندان آنالیز تابعی با تبعیت از روش مک لین (G. R. Maclane) به توسعه شاخه ای از ریاضیات پرداختند، که اینک بنام نظریه عملگرها خوانده می شود. کارل کیتایی(C. Kitai)، درسال1982، نشان دادکه اگرعملگری ابردوری باشد، آنگاه هرمولفه ازطیف آن، دایره یکه را قطع میکند. (هر زیرمجموعه ی همبند ماکسیمال را یک مولفه می گویند.)درسال1987، شاپیرو (H. Shapiro)وگتنر(R. M. Gethner)، کار رولوایس را روی فضای برگمن توسعه داده وانتقالهای پسرو روی این نوع فضاها را بررسی کردند.در سال 1991، شاپیرو و گودفروی(G. Godefroy)، ابردوری بودن عملگرهای انتقال به عقب راروی فضاهای هاردی بررسی کردند.درسال1995، سالاس(H. Salas)، ابردوری بودن عملگرهای انتقال وزندار را بررسی کرد و محک مخصوصی را برای این عملگرها ارئه داد. درسال1999، بوردن(P. Bourdon)، ابردوری بودن عملگرهای انتقال پسرو را روی فضاهای برگمن(Bergman) بررسی کرد.سپس پریس() درسال2001، نشان داد که عملگرهای ابردوری چندگانه لزوما ابردوری هستند. پروفسور ارلیکس(Orlicz)، شرط اولیه وجودیک عملگرابردوری، بریک فضای موضعا محدب را، جدایی پذیری ونامتناهی البعد بودن فضا بیان نموده است. پروفسورشمیم انصاری (S. I. .Ansari)، بونت و پریس نیز، شرایط وجودعملگرهای ابردوری برفضاهای برداری توپولوژیکی رامورد مطالعه قرارداده اند، سالاس درمقاله ای نشان داده است که بریک فضای هیلبرت (Hilbert) جدایی پذیر نامتناهی البعد، می توان عملگرابردوری با الحاق ابردوری ارائه داد.

تعریف عملگر ابردوری : فرض کنید T یک عملگر خطی روی فضای باناخ X باشد. مدار x از X را با Orb(T,x) نمایش داده و بصورت زیر تعریف می کنیم Orb(T,x) ={x,T(x),T2(x),...,Tn(x)} عملگر T را یک عملگر ابردوری روی X می نامند هرگاه بردار x از X موجود باشد بطوریکه مدار x تحت T در X چگال باشد. یعنی Cl Orb(T,x)= X در این حالت x را یک بردار ابردوری برای T روی X نامیده و عملگر T را یک عملگر ابردوری می نامیم.

نکته 1: اگر عملگر ابردوری T روی X موجود باشد آنگاه X یک فضای جدایی پذیر است.

نکته 2 : اگر T یک عملگر ابردوری روی فضای X باشد، آنگاه بعد فضای X نامتناهی است .

نکته 3: هیچ عملگر ابردوری روی فضای با بعد متناهی وجود ندارد.

نکته 4: عملگر مشتق روی فضای توابع تحلیلی یک عملگر ابردوری است.