نوسانگر هماهنگ

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو


در مکانیک کلاسیک, یک نوسانگر هماهنگ سیستمی است ذره از موقعیت تعادل خود به اندازه x دور شده‌است و یک نیروی بازگردانده F به آن وارد می‌شود:

 \vec F = -k \vec x \,

که k یک ضریب مثبت است.

اگر F تنها نیروی وارد بر ذره باشد نام آن نوسانگر هماهنگ ساده می‌شود, و تحت حرکت هماهنگ ساده حول نقطه تعادل سینوسی خواهد بود دامنه‌ و بسامد نوسان آن ثابت خواهد بود.

اگر یک نیروی اصطکاکی وجود داشته باشد نوسان مورد نظر میرا می‌شود.

نوسان‌گر هماهنگ ساده[ویرایش]

حرکت هماهنگ ساده.

نوسان هماهنگ ساده، حرکتی هماهنگ است که در آن میرایی وجود ندارد. بنابرین نیروی وارد بر آن از فرمول زیر بدست می‌آید:

F = m a = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x.

حل این معادله دیفرانسیل نتیجه زیر را دارد:

 x(t) = A\cos\left( 2\pi f  t+\phi\right),

که

f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{T}.

این حرکت یک تابع متناوب است. انرژی پتانسیل ذخیره شده در نوسانگر از رابطه زیر بدست می‌آید

U = \frac{1}{2}kx^2.

مثال‌ها[ویرایش]

آونگ ساده[ویرایش]

یک آونگ ساده در شرایط عدم میرایی و دامنه محدود، حرکت هماهنگ ساده نشان می‌دهد.

بافرض آن‌که میرایی وجود ندارد و دامنهٔ حرکت کوچک است، معادلهٔ دیفرانسیل حاکم بر یک آونگ ساده به صورت زیر است (برای حصول این معادله، می‌توان آونگ را به میزان اندکی منحرف کرد و از قانون دوم اویلر -فرم زاویه‌ای قانون دوم حرکت- بهره گرفت):

{\mathrm{d}^2\theta\over \mathrm{d}t^2}+{g\over \ell}\theta=0.

جواب این معادله به صورت زیر است:

\theta(t) = \theta_0\cos\left(\sqrt{g\over \ell}t\right) \quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1

که در آن \theta_0 بیشینه زاویه‌ای است که آونگ به آن می‌رسد. دوره تناوب، زمان لازم برای یک نوسان، از حاصل‌ضرب 2\pi تقسیم بر آرگومان کسینوس که در این‌جا \sqrt{g\over \ell} است به دست می‌آید؛ پس خواهیم داشت:

T_0 = 2\pi\sqrt{\ell\over g}\quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1.

سیستم‌های معادل[ویرایش]

حرکت انتقالی حرکت دورانی مدار RLC مدار RLC
موقعیت x\, زاویه  \theta\,\! بار q\, ولتاژ e\,
سرعت برداری \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\, سرعت زاویه‌ای \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\, جریان الکتریکی \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\, \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}\,
جرم (فیزیک) M\, ممان اینرسی I\, القاوری L\, ظرفیت خازنی C\,
قانون هوک K\, ثابت پیچشی \mu\, ظرفیت خازنی 1/C\, سوسپتانس 1/L\,
اصطکاک \gamma\, اصطکاک دورانی \Gamma\, مقاومت الکتریکی R\, مقاومت الکتریکی 1/R\,
Drive نیرو F(t)\, Drive گشتاور \tau(t)\, e\, \mathrm{d}i/\mathrm{d}t\,
تشدید f_n\,:
\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{M}}\, \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{I}}\, \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}\, \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}\,
معادلات دیفرانسیل:
M\ddot x + 
\gamma\dot x + Kx = F\, I\ddot \theta + \Gamma\dot \theta + \mu \theta = \tau\, L\ddot q + R\dot q + q/C = e\, C\ddot e + \dot e/R + e/L = \dot i\,

منابع[ویرایش]

Wikipedia contributors, "Harmonic oscillator," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harmonic_oscillator&oldid=485806633 (accessed May 3, 2012).