جسم افلاطونی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در هندسه فضایی، چندوجهی‌های منتظمِ محدب به جسم افلاطونی موسومند. می‌توان نشان داد که در فضای سه‌بعدی تنها پنج جسم افلاطونی هست، که عبارتند از:

  1. چهاروجهی منتظم، متشکل از چهار مثلث متساوی‌الاضلاع،
  2. شش‌وجهی منتظم (مکعب)، متشکل از شش مربع،
  3. هشت‌وجهی منتظم، متشکل از هشت مثلث متساوی‌الاضلاع،
  4. دوازده‌وجهی منتظم، متشکل از دوازده پنج‌ضلعی منتظم،
  5. بیست‌وجهی منتظم، متشکل از بیست مثلث متساوی‌الاضلاع.

وجه‌های هر کدام از این چندوجهی‌ها چندضلعی‌هایی منتظم و هم‌نهشتند و تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر رأس آنان به یکدیگر می‌رسند. شش‌وجهی منتظم (مکعب) با هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم با بیست‌وجهی منتظم، و چهاروجهی منتظم با خودش مزدوجند؛ یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یکی می‌توان دیگری را ساخت. همچنین در ساخت دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم نسبت طلایی پدید می‌آید.

عنوان این چندوجهی‌ها از نام افلاطون، فیلسوف یونانی، گرفته شده‌است که در داستان آفرینشش در دیالوگ تیمائوس، آنان را به عناصر تشکیل‌دهندهٔ گیتی نسبت می‌دهد. اقلیدس، فیثاغوری‌ها، و ابوالوفا بوزجانی نیز در باب اجسام افلاطونی پژوهش کرده‌اند. ستاره‌شناس آلمانی یوهانس کپلر هم هندسهٔ جهان را بر اساس اجسام افلاطونی می‌دانست و از ویژگی‌های آنان در وضع قوانین کپلر بهره برد. اجسام افلاطونی در آثار هنرمندانی چون موریس اشر و سالوادور دالی خودنمایی می‌کنند و در طبیعت نیز می‌توان آنان را در ساختارهای بلوری و هیبت برخی تک‌یاختگان و ویروس‌ها جست.

تاریخ[ویرایش]

تقارن، کمال ساختاری، و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از مصر باستان تا کنون بوده‌است،[۱] و ویژگی‌های شگفت‌انگیز آنها مشغلهٔ معمول محققان از روزگار افلاطون تا به رنسانس بود.[۲] یافته‌های باستان‌شناختی از ۴٫۰۰۰ سال پیش در اسکاتلند هم شامل نقش‌هایی حک‌شده در سنگ از اجسام افلاطونی ست.[۳][۴]

یونان باستان[ویرایش]

ساختار هندسی عناصر هستی به گفتهٔ افلاطون
چهاروجهی آتش
مکعب خاک
هشت‌وجهی هوا
دوازده‌وجهی اثیر
بیست‌وجهی آب

نخستین مطالعهٔ سیستماتیک دربارهٔ اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند.[۵] ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار عناصر چهارگانهٔ سازنده جهان هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعبِ استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب بود. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ صورت فلکی‌اش بود.[۲][۱] خود فیثاغورث (ح. ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ. م) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت.[۱] فیثاغورث ۲۰ سال را در مصر گذرانده بود و احتمالاً این اطلاعات را آنجا آموخته بود.[۳]

تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطهٔ اوج کتاب پایانی اصول اقلیدس (حدود ۳۰۰ پ. م) است.[۲] به نوشتهٔ اقلیدس، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد ریاضی‌دان آتنی و دوست افلاطون تئائتتوس (حدود ۴۱۷–۳۶۹ پ. م) بود.[۶] از آنجا که افلاطون (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ پ. م.) نظریات فیثاغوری‌ها را در «داستان آفرینش»ش در دیالوگ تیمائوس تکرار کرده بود، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید.[۲] افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌دهد. به نوشتهٔ او:

خداوند آب و هوا در وسط خاک و آتش قرار داد و بین همهٔ آنها تناسبی واحد برقرار ساخت… به این ترتیب از پیوند این چهار عنصر، جسم جهان به وجود آمد و در سایهٔ تناسب، توازن و هماهنگی در درون آن حکمفرما گردید.

او از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.»[۶] مفسران افلاطون دوازده‌وجهی را با دوازده برج منطقةالبروج مرتبط دانسته‌اند. افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه دربارهٔ تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد.[۶] افلاطون باور داشت این اجسام سایه یا بازتابی از جهان واقع هستند، بااین‌حال به گفتهٔ کَرِن فرنچ[الف] آرای افلاطون را باید علاوه بر رویکرد تحت‌اللفظی، با رویکردی متافیزیکی نیز بررسی کرد.[۸]

قرون وسطی[ویرایش]

تصویر یک بیست‌وجهی منتظم در کتاب در باب تناسب الهی اثر لئوناردو دا وینچی

ابوالوفا بوزجانی هم در مطالعهٔ اجسام افلاطونی «به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخته و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زده […] در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی مـنتظم مانند مثلث، مربع یا پنج ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از چند ضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند.» پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است، بوده‌است. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه[ب] اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.[۷][۴] از نکات قابل توجه در کتاب بوزجانی این است که او ترسیم‌ها به شکل گسترده ارائه کرده‌است تا خواننده با تخیل خود بتواند آن‌ها به شکل سه‌بعدی ببیند.‏[۴] به گفتهٔ گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی الاضلاع، مربع و پنج ضلعی منتظم بر بدنهٔ کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چندضلعی منتظم استوار است.»[۷]

رنسانس و قرون جدید[ویرایش]

هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند،[۹] که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو در کلیسای جامع سینت مارکو ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی در تصویرسازی‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است.[۹]

تصور یوهانس کپلر از منظومه شمسی، تشکیل‌شده از اجسام افلاطونی از رموز جهان (۱۵۹۶)

کیهان‌شناسی افلاطون در تیمائوس راهنمای مهم یوهانس کپلر (۱۵۷۱–۱۶۳۰) در وضع قوانین کپلر بود.[۱۰] کپلر در مدلش از هستی، ایدهٔ استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسهٔ جهان را احیا کرد.[۲][۱] او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست.[۱۰] کپلر در سال ۱۵۹۶ در کتاب رموز جهان هر کدام از شش سیارهٔ شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند.[۱۰] هدف کپلر در واقع این بود که فاصلهٔ میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند. او دریافت اگر کره‌ها و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که توانسته قانون بنیادی طبیعت را کشف کند.[۱۱]‏ به نوشتهٔ آرتور کستلر:

[کپلر] در مدار کروی کیوان مکعبی را محاط کرد، و در آن مکعب کرهٔ دیگری را، که مدار مشتری بود. در آن چهاروجهی را محاط کرد و در آن چهاروجهی مدار کروی مریخ را. بین مدارهای مریخ و زمین، دوازده‌وجهی قرار گرفت و بین زمین و زهره، بیست‌وجهی، و بین زهره و عطارد، هشت‌وجهی. یوریکا!... این امر شیفتگی نهایی کپلر بود، چه به عنوان یک فرد و چه به عنوان نمونهٔ تاریخی. چرا که باور غلط او به پنج جسم کامل هوسی گذرا نبود. این باور با کمی تغییر و تعدیل تا آخر عمر با او ماند، که نشان از توهمی پارانویاگونه دارد. با این همه این وهم انگیزه و محرک او بود برای دستیابی به اکتشافات جاودانش.

تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱) نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.[۱۰]

در جهان معاصر[ویرایش]

موریس اشرِ هلندی از اشکال خالص اجسام افلاطونی در آثارش به‌صورت گسترده استفاده کرده‌است. برای مثال اثر حکاکی روی چوب ستاره‌ها [en] ترکیبی از مکعب‌ها و هشت‌وجهی‌ها را به تصویر می‌کشد که آفتاب‌پرست‌هایی را محیط کرده‌اند.[۹] اشر در اثر دیگری با عنوان خزندگان [en] از یک دوازده‌وجهی به‌عنوان نماد آسمان بهره می‌برد. شیفتگی اشر نسبت به اجسام افلاطونی تا حدی بود که تنها چیزی که پس از نقل مکان از کارگاهش با خود برد مجموعه‌ای درهم‌رفته از اجسام افلاطونی بود.[۱۳] نقاش اسپانیایی سالوادور دالی نیز شیفتهٔ اجسام افلاطونی بود. در تصلیب [en] دالی صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در تقدیس شام آخر [en] دوازده‌وجهی خالی‌ای (که نماد «خدا» است) بر فراز سر مسیح و حواریونش قرار دارد. برونو موناری نیز مساعی گسترده‌ای در طراحی صنعتی با استفاده از شکل اجسام افلاطونی کرده‌است. زیرسیگاری مکعبی او نمونهٔ شاخص طراحی ایتالیایی در میانهٔ قرن بیستم است.[۹] در قرن بیستم استفاده از اشکال خالص افلاطونی به یکی از ویژگی‌های سبک بین‌المللی معماری بدل شد. معمار سوئیسی لوکوربوزیه نیز سیستمی برای طراحی متناسب با ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از نسبت طلایی بهره گرفته‌است.[۹] اساس باکمینستر فولر در ساخت گنبد ژئودزیک نیز بیست‌وجهی منتظم بود.[۱۴]

قضایا و ویژگی‌ها[ویرایش]

اثبات هندسی[ویرایش]

تعریف

جدول مشخصات اجسام افلاطونی
نام فارسی چهاروجهی منتظم شش‌وجهی منتظم (مکعب) هشت‌وجهی منتظم دوازده‌وجهی منتظم بیست‌وجهی منتظم
نام انگلیسی Tetrahedron
Hexahedron (Cube)
Octahedron Dodecahedron Icosahedron
تعداد وجه‌ها چهار تا سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) شش تا چهارضلعی منتظم (مربع) هشت تا سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) دوازده تا پنج‌ضلعی منتظم بیست تا سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع)
شما Tetrahedron.svg Hexahedron.svg Octahedron.svg Dodecahedron.svg Icosahedron.svg
شکل گسترده Tetrahedron flat.svg Hexahedron flat color.svg Octahedron flat.svg Dodecahedron flat.svg Icosahedron flat.svg
پویانمایی گسترش Tetraedro desarrollo.gif Cubo desarrollo.gif Octaedro desarrollo.gif Dodecaedro desarrollo.gif Icosaedro desarrollo.gif
وجه‌ها در هر راس سه تا سه تا چهار تا سه تا پنج تا
دیاگرام راس Polyiamond-3-1.svg TrominoV.jpg Polyiamond-4-1.svg Pentagon net.png Polyiamond-5-1.svg
مجموع زوایای بین اضلاع در هر راس ۱۸۰o ۲۷۰o ۲۴۰o ۳۲۴o ۳۰۰o
تعداد راس ۴ ۸ ۶ (۲ × ۳) ۱۲ (۴ × ۳) ۲۰ (۸ + ۴ × ۳)
تعداد ضلع ۶ ۱۲ ۱۲ ۳۰ ۳۰
آرایش راس‌ها ۳٫۳٫۳ ۴٫۴٫۴ ۳٫۳٫۳٫۳ ۵٫۵٫۵ ۳٫۳٫۳٫۳٫۳
نماد شلفلی {۳, ۳} {۴, ۳} {۳, ۴} {۵, ۳} {۳, ۵}

یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر

  1. همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
  2. هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
  3. تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

به مجموع وجه‌ها و ضلع‌هایی که در یک راس v به هم می‌رسند «هرم راس»[پ] گفته می‌شود. منظور از هرم در اینجا یال هرم است و قاعدهٔ این هرم ممکن است مسطح نباشد.[۱۵]

اگر مجموع زوایای بین ضلع‌های که در یک راس (v) به هم می‌رسند کمتر از ۳۶۰o باشد، آن راس «محدب» دانسته می‌شود. برای اینکه یک چندوجهی محدب باشد، همهٔ رئوس آن باید محدب باشند.[۱۶] حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است.[۱۶]

وجه‌های سه‌ضلعی

با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر ۳ × ۶۰o = ۱۸۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است.[۱۶] با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، هشت‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر ۴ × ۶۰o = ۲۴۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر است، بنابراین هشت‌وجهی منتظم نیز جسم افلاطونی است.[۱۶] همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، بیست‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر ۵ × ۶۰o = ۳۰۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر است، بنابراین بیست‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.[۱۷] با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۶ × ۶۰o = ۳۶۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر نیست و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد سه‌ضلعی‌های منتظم به‌هم‌رسیده بعد از شش تا، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک راس همیشه از ۳۶۰o بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها سه جسم افلاطونی با وجوه مثلثی می‌توان ساخت.[۱۷]

وجه‌های چهارضلعی

با به‌هم رسیدن سه چهارضلعی منتظم (مربع) در هر راس، شش‌وجهی منتظم (مکعب) تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر ۳ × ۹۰o = ۲۷۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر است، بنابراین شش‌وجهی منتظم (مکعب) جسم افلاطونی است.[۱۶] با به‌هم رسیدن چهار چهارضلعی منتظم (مربع) در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۴ × ۹۰o = ۳۶۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر نیست و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد مربع‌های به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک راس همیشه از ۳۶۰o بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه مربعی می‌توان ساخت.[۱۶]

وجه‌های پنج‌ضلعی

با به‌هم رسیدن سه پنج‌ضلعی منتظم در هر راس، دوازده‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر ۳ × ۱۰۸o = ۳۲۴o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.[۱۸] با به‌هم رسیدن چهار پنج‌ضلعی منتظم در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۴ × ۱۰۸o = ۴۳۲o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر نیست و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. با افزایش تعداد پنج‌ضلعی به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک راس همیشه از ۳۶۰o بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه پنج‌ضلعی می‌توان ساخت.[۱۸]

وجه‌های شش‌ضلعی و بیشتر

با به‌هم رسیدن سه شش‌ضلعی منتظم در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۳ × ۱۲۰o = ۳۶۰o می‌شود که از ۳۶۰o کمتر نیست و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. برای هفت‌ضلعی منتظم این عدد برابر ۳ × ۱۲۸o = ۳۸۵o و برای برای هشت‌ضلعی منتظم این عدد ۳ × ۱۳۵o = ۴۰۵o است و با افزایش تعداد اضلاع وجوه این عدد همواره زیاد می‌شود؛ بنابراین با چندضلعی‌های منتظم با بیشتر از پنج ضلع نمی‌توان جسم افلاطونی ساخت. به‌این‌ترتیب تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که عبارتند از چهاروجهی منتظم، شش‌وجهی منتظم (مکعبهشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم، و بیست‌وجهی منتظم.[۱۸]

اثبات توپولوژیک[ویرایش]

می‌توان، تنها با استفاده از اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی، اثباتی کاملاً توپولوژییکی ارائه کرد. نکتهٔ مهم در این اثبات مشخصه اویلر است مبنی بر اینکه VE + F = ۲، و این امر که pF = ۲E = qV، که در آن p تعداد اضلاع هر وجه است و q تعداد اضلاعی که در هر رأس به هم می‌رسند. از ترکیب این معادله‌ها نتیجه می‌شود:[۱۹]

۲E/q - E + ۲E/p = ۲.

و پس از ساده‌سازی سادهٔ جبری:[۱۹]

۱/q + ۱/p = ۱/۲ + ۱/E.

از آنجا که E همواره مثبت است پس:

۱/q + ۱/p > ۱/۲.

با بهره‌گیری از این امر که p و q باید دستکم ۳ باشند، به‌وضوح می‌توان نشان داد که پنج حالت مختلف برای {p, q} وجود دارد:[۱۹]

  • {۳,۳} — (چهاروجهی منتظم)؛
  • {۳,۴} — (مکعب)؛
  • {۴,۳} — (هشت‌وجهی منتظم)؛
  • {۳,۵} — (دوازده‌وجهی منتظم)؛
  • {۵,۳} — (بیست‌وجهی منتظم).

ویژگی‌های ترکیبی[ویرایش]

اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی
جسم افلاطونی تعداد وجوه
(F یا q)
تعداد اضلاع
(E یا p)
تعداد رئوس
(V)
چهاروجهی ۴ ۶ ۴
شش‌وجهی
(مکعب)
۶ ۱۲ ۸
هشت‌وجهی ۸ ۱۲ ۶
دوازده وجهی ۱۲ ۳۰ ۲۰
بیست وجهی ۲۰ ۳۰ ۱۲

نشان داده شد که هر جسم افلاطونی با نماد شِلَفْلی {p, q} نشان داده می‌شود که p تعداد اضلاع (یا رأس‌های) هر وجه و q تعداد وجه‌ها (یا اضلاعی) است که در هر رأس به یکدیگر می‌رسند. همهٔ اطلاعات ترکیبی این چندوجهی‌ها، شامل تعداد رأس‌ها (V)، اضلاع (E)، و وجه‌ها (F) با استفاده از p و q قابل تعیین هستند. از آنجا که هر ضلع، دو رأس را به یکدیگر متصل کرده و دو وجه مجاور دارد، رابطهٔ زیر برقرار است:[۲۰]

pF = ۲E = qV.

مشخصهٔ اویلر[ویرایش]

رابطهٔ دیگر بین اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی با استفاده از مشخصه اویلر بدست می‌آید:[۲۱]

V - E + F = ۲.

یعنی برای هر جسم افلاطونی، تعداد رئوس منهای تعداد اضلاع به‌علاوهٔ تعداد وجه‌ها برابر ۲ است. مثلاً در مکعب ۸–۱۲ + ۶ = ۲. مشخصهٔ اویلر، که برای همهٔ چندوجهی‌های بدون حفره صادق است، برای اثبات قضیه‌های مختلفی اجسام افلاطونی به کار رفت.[۲۱]

ویژگی‌های هندسی[ویرایش]

زاویه‌ها[ویرایش]

زاویه دوسطحی، زاویه داخلی بین هر دو وجه چندوجهی است. اندازهٔ زاویه دوسطحی، θ، برای چندوجهی {p,q} با استفاده فرمول زیر بدست می‌آید:

sin(θ/۲) = cos(π/q)/sin(π/p)

کاستی زاویه‌ای هر رأس یک چندوجهی، اختلاف بین مجموع زوایای بین وجه‌ها در هر رأس و ۲π است. کاستی زاویه‌ای، δ، در هر رأس جسم افلاطونی {p,q}، با استفاده از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

δ = ۲π - qπ(۱-۲/p)

با استفاده از تئوری دکارت، این مقدار برابر است با ۴π تقسیم بر تعداد رأس‌ها (مجموع کاستی‌ها در همهٔ رأس‌ها ۴π است).[۲۲]

معادل ۳-بعدی زاویه سطحی، زاویه فضایی است. زاویه فضایی، Ω، در رأس یک جسم افلاطونی، بر حسب زاویه دوسطحی، به‌صورت زیر بدست می‌آید:

Ω = qθ - (q-۲)π

زاویه‌های مربوط به اجسام افلاطونی در جدول زیر ارائه شده‌اند. مقدار زوایای فضایی بر حسب استرادیان داده شده‌است. ثابت φ = (۱+√۵)/۲، نسبت طلایی است.

چندوجهی زاویه دوسطحی
θ
tan(θ/۲) زاویه رأس کاستی زاویه‌ای (δ) زاویه فضایی رأس (Ω) زاویه فضایی
وجه
چهاروجهی ۷۰٫۵۳° ۱/۲ ۶۰° π cos(۲۳/۲۷) ≈ ۰٫۵۵۱۲۸۶ π
مکعب ۹۰° ۱ ۹۰° 1/π۲ π/۲ ≈ ۱٫۵۷۰۸۰ ۲π/۳
هشت‌وجهی ۱۰۹٫۴۷° ۲ ۶۰°, ۹۰° ۲π/۳ ۴sin(۱/۳) ≈ ۱٫۳۵۹۳۵ π/۲
دوازده‌وجهی ۱۱۶٫۵۷° ۱۰۸° π/5 π - tan(۲/۱۱) ≈ ۲٫۹۶۱۷۴ π/3
بیست‌وجهی ۱۳۸٫۱۹° ۲ ۶۰°, ۱۰۸° π/۳ ۲π - ۵sin(۲/۳) ≈ ۲٫۶۳۴۵۵ π/۵

شعاع، مساحت، و حجم[ویرایش]

همهٔ اجسام افلاطونی، سه کره هم‌مرکز دارند:

  • کرهٔ محیطی که از همهٔ رأس‌ها عبور می‌کند،
  • کرهٔ میانی که بر همهٔ اضلاع در نقطهٔ وسط ضلع مماس است،
  • کره محاطی که بر همه وجه‌ها در مرکز وجه مماس است.

شعاع این کره‌ها، شعاع محیطی، شعاع میانی و شعاع داخلی نامیده می‌شوند که به‌ترتیب برابر با فاصله مرکز چندوجهی از رأس‌ها، نقطه وسط اضلاع و مرکز وجه‌ها هستند. شعاع مح‍یطی R و شعاع داخلی r برای چندوجهی {p, q} با طول ضلع a از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:[۲۳]

R = (a/۲)tan(π/q)tan(θ/۲)

r = (a/۲)cot(π/p)tan(θ/۲)

که θ، زاویه دوسطحی است.

مساحت سطح، A، برای یک جسم افلاطونی {p, q} به آسانی و با استفاده از ضرب تعداد وجه‌ها، F، در مساحت p-ضلعی منتظم بدست می‌آید: شعاع میانی ρ با استفاده از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

A = (a/۲)۲Fpcot(π/p)

حجم اجسام افلاطونی برابر است با حاصل‌ضرب F در حجم هرمی با قاعده p-ضلعی منتظم و ارتفاع شعاع داخلی r:[۲۴]

V =۱/۳rA

جدول زیر، شعاع‌ها، مساحت و حجم اجسام افلاطونی را ارائه کرده‌است. در این جدول، طول ضلع a = ۲ در نظر گرفته شده‌است.[۲۴]

چندوجهی شعاع داخلی (r) شعاع میانی (ρ) شعاع محیطی (R) مساحت سطح (A) حجم (V)
چهاروجهی ۱/۶ ۱/۲ ۳۲ ۴۳ ۸/۳
مکعب 1 ۲ ۳ ۲۴ ۸
هشت‌وجهی ۲۳ ۱ ۲ ۸۳ ۱۲۸/۳
دوازده‌وجهی φ۲/ξ φ^۲ ۳φ ۱۲۲۵+۱۰۵ ۲۰φ۳/ξ۲
بیست‌وجهی φ۲/۳ φ ξφ ۲۰۳ ۲۰φ۲/۳

ثابت‌های φ و ξ در جدول بالا عبارتند از:

φ = ۲cos(π/۵) = ۱+۵/۲

و

ξ  = ۲sin(π/۵) = ۵-۵/۲ = ۵۱/۴φ-۱/۲.

مختصات دکارتی و نسبت طلایی[ویرایش]

مختصات دکارتی سادهٔ رئوس اجسام افلاطونی در جدول زیر آمده‌است. حرف یونانی φ به نسبت طلایی ۱ + ۵/۲ ≈ ۱٫۶۱۸۰ اشاره دارد.

مختصات دکارتی اجسام افلاطونی
شکل سه‌وجهی منتظم هشت‌وجهی منتظم مکعب بیست وجهی منتظم دوازده‌وجهی منتظم
وجه‌ها ۴ ۸ ۶ ۲۰ ۱۲
رأس‌ها ۴ ۶ (۲ × ۳) ۸ ۱۲ (۴ × ۳) ۲۰ (۸ + ۴ × ۳)
جهت‌گیری
مجموعه
۱ ۲ ۱ ۲ ۱ ۲
مختصات
رأس
(۱, ۱, ۱)
(۱, −۱, −۱)
(−۱, ۱, −۱)
(−۱, −۱, ۱)
(−۱, −۱, −۱)
(−۱, ۱, ۱)
(۱, −۱, ۱)
(۱, ۱, −۱)

(±۱, ۰, ۰)
(۰, ±۱, ۰)
(۰, ۰, ±۱)
(±۱, ±۱, ±۱)
(۰, ±۱, ±φ)
(±۱, ±φ, ۰)
φ, ۰, ±۱)

(۰, ±φ, ±۱)
φ, ±۱, ۰)
(±۱, ۰, ±φ)
(±۱, ±۱, ±۱)
(0, ±۱/φ, ±φ)
۱/φ, ±φ, ۰)
φ, ۰, ±۱/φ)
(±۱, ±۱, ±۱)
(۰, ±φ, ±۱/φ)
φ, ±۱/φ, ۰)
۱/φ, ۰, ±φ)
تصویر CubeAndStel.svg Dual Cube-Octahedron.svg Icosahedron-golden-rectangles.svg Cube in dodecahedron.png

مختصات دکارتی چهاروجهی منتظم، مکعب، و هشت‌وجهی منتظم شامل نسبت طلایی نیست و می‌توان آن‌ها را با اعداد طبیعی نشان دارد.[۲۵] از سوی دیگر برای نمایش مختصات دکارتی دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم به نسبت طلایی (۱ + ۵/۲ ≈ ۱٫۶۱۸۰) نیاز است. مختصات رئوس دوازده‌وجهی را می‌توان به‌سادگی از طریق رئوس سه مستطیل طلایی (مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر ۱:φ است) عمود برهم محاسبه کرد. اضلاع دوازده‌وجهی پاره‌خط‌هایی هستند که هر رأس مستطیل‌های طلایی را به پنج رأس همسایهٔ آن وصل می‌کنند.[۲۵]

بیست‌وجهی منتظم را هم می‌توان با وصل کردن رئوس سه مستطیل عمود بر هم با نسبت طول به عرض ۱:φ2 به رئوس یک مکعب ایجاد کرد.[۲۵]

تقارن[ویرایش]

با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یک چندوجهی (یا به عبارت دیگر جابجا کردن تعداد وجه‌ها و رأس‌ها) مزدوج آن چندوجهی حاصل می‌شود. مزدوج هر جسم افلاطونی هم یک جسم افلاطونی است:[۲۳]

بدون قاب

با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک چهاروجهی منتظم، یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی (۴) با هم برابر است).[۲۳]

بدون قاب
بدون قاب

با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک شش‌وجهی منتظم (مکعب)، یک هشت‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک هشت‌وجهی منتظم، یک شش‌وجهی منتظم (مکعب) به‌دست می‌آید (تعداد وجوه مکعب با رئوس هشت‌وجهی (۶) برابر و رئوس آن (۸) با وجوه هشت‌وجهی برابر است).[۲۳]

بدون قاب
بدون قاب

با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک دوازده‌وجهی منتظم، یک بیست‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک بیست‌وجهی منتظم، یک دوازده‌وجهی منتظم به‌دست می‌آید (تعداد وجوه دوازده‌وجهی با رئوس بیست‌وجهی (۱۲) برابر و رئوس آن (۲۰) با وجوه بیست‌وجهی برابر است).[۲۳]

اگر نماد شلفلی یک چندوجهی {pq} باشد، نماد شلفلی مزدوج آن {qp} خواهد بود. به‌طور کلی هر ویژگی‌ ترکیبی یک جسم افلاطونی را می‌توان برابر ویژگی ترکیبی دیگری از مزدوج آن دانست.

برای هر جسم افلاطونی، سه کرهٔ هم‌مرکز خاص وجود دارد. یکی کره‌ای که همهٔ رئوس جسم را در سطح خود دارد (کرهٔ محیط)، دومی کره‌ای که همهٔ نقاط مرکزی وجوه جسم را در سطح خود دارد (کرهٔ محاط) و سومی کره‌ای که همهٔ نقطه‌های وسط اضلاع جسم را در سطح خود دارد.[۲۳]

در طبیعت و تکنولوژی[ویرایش]

با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند.[۲۶] سنگ نمک (NaCl یا نمک خوراکی طبیعی) گاه در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد و بلورهای فلئوریت (CaF2 یا کلسیم فلوراید) شبیه هشت‌وجهی‌اند. پیریت (FeS2، معروف به طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود.[۲۶] در سال ۲۰۱۱ نیز دانشمند اسرائیلی دن شختمن برای کشف ساختار بیست‌وجهی منتظم کریستال مایع آلومینیم جایزه نوبل شیمی را دریافت کرد.[۲۷] هیدروکربن‌های افلاطونی هم نمایش مولکولی چند اجسام افلاطونی‌اند که در آن‌ها رأس‌ها با اتم‌های کربن و اضلاع با پیوند کربن-کربن جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی کوبان (C8H8) و دودِکاهدران (C20H20) سنتز شده‌اند و پیش‌بینی می‌شود تتراهدران (C4H4) از لحاظ جنبشی پایدار باشد.[۲۸]

گونه‌ای از شعاعیان با ساختار بیست‌وجهی

در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعت[ت] برخی شعاعیان را توصیف می‌کند که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند.[۲۹] ساختار برخی ویروس‌ها مثل تب‌خال نیز به شکل بیست‌وجهی منتظم است. به نوشتهٔ کریک و واتسون، بهینه‌ترین و ساده‌ترین حالت‌های ترکیب زیرساختارهای پروتئینی در ویروس برای تشکیل کپسید به شکل اجسام افلاطونی (و به‌ویژه بیست‌وجهی) است. ساده‌ترین کپسیدهای بیست‌وجهی با استفاده از ۳ زیرواحد همسان برای تشکیل هر وجه مثلثی ساخته می‌شوند. این بدین معنی است که برای ساختن یک کپسید کامل، به ۶۰ زیر واحد همسان نیاز است.[۳۰]

از جسم‌های افلاطونی به شکل گسترده به عنوان تاس استفاده می‌شود.

از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود،[۳۱] و همچنین پازل‌های ترکیبی ‏(en) (مثل مکعب روبیک) به شکل همهٔ اجسام افلاطونی وجود دارد.

چندوجهی‌ها مرتبط[ویرایش]

اجسام ارشمیدسی چندوجهی‌هایی هستند که از بیش از یک نوع چندضلعی همنهشت ساخته شده‌اند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد[ث] که از این تعداد هفت تای آن‌ها را می‌توان با بریدن گوشه‌ها ‏(en)ی اجسام افلاطونی ساخت. این هفت جسم ارشمیدسی عبارتند از:[۳۲]

  1. مکعب‌هشت‌وجهی، که هشت وجهش مثلث متساوی‌الاضلاع و شش وجهش مربعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب یا هشت‌وجهی منتظم از وسط اضلاع آن‌ها ساخت؛
  2. بیست‌دوازده‌وجهی، که بیست وجهش مثلث متساوی‌الاضلاع و دوازده وجهش پنج‌ضلعی منتظمند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم یا بیست‌وجهی منتظم از وسط اضلاع ساخت.[ج]
  3. چهاروجهی بریده‌شده ‏(en)، که چهار وجهش شش‌ضلعی منتظم و چهار وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های چهاروجهی منتظم از هر جا به جز وسط اضلاع ساخت.
  4. مکعب بریده‌شده ‏(en)، که شش وجهش هشت‌ضلعی منتظم و هشت وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب از هر جا به جز وسط اضلاع ساخت.
  5. هشت‌وجهی بریده‌شده ‏(en)، که هشت وجهش شش‌ضلعی منتظم و هشت وجهش مربعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های هشت‌وجهی منتظم از هر جا به جز وسط اضلاع ساخت.
  6. دوازده‌وجهی بریده‌شده ‏(en)، که ۱۲ وجهش ده‌ضلعی منتظم و ۲۰ وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم از هر جا به جز وسط اضلاع ساخت.
  7. بیست‌وجهی بریده‌شده ‏(en) یا «توپ فوتبال»، که ۱۲ وجهش پنج‌ضلعی منتظم و ۲۰ وجهش شش‌ضلعی منتظمند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های بیست‌وجهی منتظم از هر جا به جز وسط اضلاع ساخت.

اجسام کاتالان ‏(en) را هم، که مزدوج اجسام ارشمیدسی‌اند، می‌توان ازین روش ساخت، بااین‌حال وجه‌های اجسام کاتالان همنهشت نیستند.

در بعدهای بالاتر[ویرایش]

تصویر یک تصویرسازی سه‌بعدی از ۶۰۰-خانه، شیئی چهاربعدی که شرایط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی انداخت.

در سال ۱۸۵۲، لودویگ شلفلی ‏(en)ِ ریاضی‌دان ثابت کرد که در فضای چهاربعدی شش «چندوجهی» هست که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند.[۱۸] در فضای پنج‌بعدی و فضاها در ابعاد بالاتر همیشه تنها سه «چندوجهی» وجود دارد که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند.[۱۸] این چندبرها، که تعمیمی از اجسام افلاطونی هستند، عبارتند از ابرمکعب (مکعب n-بعدی)، سیمپلکس ‏(en) (چهاروجهی n-بعدی)، و ارتوپلکس ‏(en) (هشت‌وجهی n-بعدی).[۱۸] علاوه بر سه چندبر، در فضای سه‌بعدی دو چندوجهی (دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) و در فضای چهاربعدی سه چندبر (معروف به ۲۴-خانه ‏(en)، ۱۲۰-خانه ‏(en)، و ۶۰۰-خانه ‏(en) هست.[۱۸]

یادداشت[ویرایش]

  1. Karen L. French
  2. در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند.
  3. vertex pyramid
  4. Art Forms in Nature
  5. بدون به حساب آوردن برخی منشورها و پادمنشور‌ها
  6. با بریدن گوشه‌های چهاروجهی منتظم از وسط اضلاعش یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود.

منابع[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

فهرست منابع[ویرایش]