جسم ارشمیدسی
در هندسه، جسم ارشمیدسی (انگلیسی: Archimedean solid) جسمی است که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم‌اند هرچند همگی لزوماً از یک نوع نیستند و همه زوایای چندوجهی آن باهم برابرند. تعداد این جسم‌ها ۱۳ تاست.
این اجسام به نام ارشمیدس، که همهٔ آنها را تعریف کرد نامگذاری شده‌اند.
ژیروبی‌کاپولای مربعی کشیده یا شبه‌رمبی‌کوبوکتاهدرون یک چندوجهی اضافی با وجوه منتظم و رئوس متجانس است. با این حال، معمولاً به عنوان یک جسم ارشمیدسی محسوب نمی‌شود زیرا رأس-متعدی نیست.
اجسام ارشمیدسی پیکربندی راس واحد و ویژگی های تقارنی بالایی دارند. پیکر بندی راس نشان می دهد که چه نوع چند ضلعی های منتظم در هر راس به هم می رسد. ویژگی های تقارنی بالا در اینجا بدین معناست که گروه تقارنی هر جسم از اجسام افلاطونی مشتق شده است که ناشی از نحوه ساخت آنهاست. به گفته برخی، احجام ارشمیدسی همان چند وجهی های نیمه منتظم اند. با این همه، تعریف کردن چندوجهی های نیمه منتظم ممکن است شامل خانواده های نامنتهی منشور ها و پادمنشور ها نیز بشود که "ژیروبیکوپولای مربعی کشیده" را هم در بر بگیرد.
اسکلت اجسام ارشمیدسی را می توان به صورت گرافی ترسیم کرد که گراف ارشمیدسی نامیده می شود. چنین گراف هایی منتظم و چندوجهی (و در نتیجه حتما گراف های مسطح هم بند راسی) و همچنین گراف های همیلتونی هستند.
ساخت برخی از اجسام ارشمیدسی با اجسام افلاطونی آغاز می‌شود. عمل «بریدن» (Truncation) شامل قطع کردن گوشه‌هاست؛ برای حفظ تقارن، برش در صفحه‌ای عمود بر خط واصل میان گوشه و مرکز چندوجهی انجام می‌شود و برای تمام گوشه‌ها یکسان است. نمونه‌ای از آن، «بیست‌وجهی بریده‌شده» (truncated icosahedron) است که با بریدن تمام رأس‌های یک بیست‌وجهی منتظم ساخته می‌شود و همان تقارن بیست‌وجهی را حفظ می‌کند. اگر عمق برش دقیقاً به اندازه‌ای باشد که هر جفت وجهِ متعلق به رأس‌های مجاور، تنها در یک نقطه مشترک باشند، این عمل «راست‌سازی» (Rectification) نامیده می‌شود. عمل «انبساط» (Expansion) شامل دور کردن هر وجه از مرکز (به فاصله‌ای یکسان برای حفظ تقارن جسم افلاطونی) و تشکیل «پوش محدب» (convex hull) آنهاست. نمونه‌ای از آن «لوزی‌مکعب‌هشت‌وجهی» (rhombicuboctahedron) است که با جدا کردن وجوه مکعب یا هشت‌وجهی از مرکز ثقلشان و پر کردن فضای بین آنها با مربع‌ها ساخته می‌شود. «اسناب» (Snub) فرآیند ساخت چندوجهی‌ها از طریق جدا کردن وجوه، چرخاندن آنها با زوایای مشخص و پر کردن فواصل با مثلث‌های متساوی‌الاضلاع است. نمونه‌هایی از این نوع، «مکعب اسناب» و «دوازده‌وجهی اسناب» هستند. ساختار حاصل از این اجسام دارای ویژگی «کایرالیته» (دست‌سانی) است؛ بدین معنا که تصویر آینه‌ای آنها با خودشان یکسان نیست. با این حال، همه آنها را نمی‌توان به این روش ساخت، یا ممکن است روش‌های ساخت جایگزینی برایشان وجود داشته باشد. برای مثال، «بیست‌ودوازده‌وجهی» (icosidodecahedron) را می‌توان با اتصال قاعده‌به‌قاعده‌ی دو «روتوندای پنج‌ضلعی» ساخت، یا «لوزی‌مکعب‌هشت‌وجهی» را می‌توان به روشی دیگر با اتصال دو «کوپولای مربعی» به قاعده‌های یک «منشور هشت‌ضلعی» ایجاد کرد. دست‌کم ده مورد از اجسام ارشمیدسی دارای «ویژگی روپرت» (Rupert property) هستند: هر یک از آنها می‌تواند از درون نسخه‌ای هم‌اندازه با خود عبور کند. این اجسام عبارتند از: مکعب‌هشت‌وجهی، هشت‌وجهی بریده‌شده، مکعب بریده‌شده، لوزی‌مکعب‌هشت‌وجهی، بیست‌ودوازده‌وجهی، مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده، بیست‌وجهی بریده‌شده، دوازده‌وجهی بریده‌شده و چهاروجهی بریده‌شده. چندوجهیِ دوگانِ (dual polyhedron) یک جسم ارشمیدسی، یک «جسم کاتالان» (Catalan solid) است.
نامگذاری اجسام ارشمیدسی برگرفته از نام ارشمیدس، ریاضیدان یونان باستان است که در اثری که امروزه مفقود شده، به بررسی آنها پرداخته بود. اگرچه در ابتدا این اجسام به ارشمیدس منسوب نشده بودند، اما «پاپوس اسکندرانی» در بخش پنجم از مجموعه آثار خود با عنوان *سیناگوگه* (Synagoge)، با اشاره به ارشمیدس، فهرستی از سیزده چندوجهی ارائه داد و آنها را بر اساس تعداد وجوه از هر نوع، به‌طور مختصر توصیف کرد. در دوران رنسانس، هنرمندان و ریاضیدانان برای اشکال ناب و دارای تقارن بالا ارزش بسیاری قائل بودند. برخی از اجسام ارشمیدسی در کتاب *De quinque corporibus regularibus* اثر «پیرو دلا فرانچسکا» پدیدار شدند؛ اثری که تلاشی برای مطالعه و نسخه‌برداری از کارهای ارشمیدس و همچنین ارجاع به او بود. با این حال، او این اشکال را مستقیماً به ارشمیدس نسبت نداد؛ هرچند از کار ارشمیدس آگاه بود، اما به نظر می‌رسید که این کار نوعی بازکشف مستقل محسوب می‌شد. نمونه‌های دیگری از این اجسام در آثار «ونتسل یامنیتسر» (کتاب *Perspectiva Corporum Regularium*) و همچنین کتاب‌های *Summa de arithmetica* و *Divina proportione* اثر «لوکا پاچولی» — که توسط لئوناردو داوینچی تصویرسازی شده بودند دیده شد. الگوی گسترده (Net) اجسام ارشمیدسی در کتاب *Underweysung der Messung* اثر «آلبرشت دورر» نیز به چشم می‌خورد که از اثر پاچولی اقتباس شده بود. تا حدود سال ۱۶۲۰، «یوهانس کپلر» در کتاب *Harmonices Mundi* (هارمونی جهان) کار بازکشف این سیزده چندوجهی را تکمیل کرد و همچنین به تعریف منشورها، پادمنشورها (آنتی‌پریسم‌ها) و اجسام غیرمحدبی که به نام چندوجهی‌های کپلر-پوانسو شناخته می‌شوند، پرداخت.
ممکن است کپلر جسم هندسی دیگری را نیز کشف کرده باشد که با نام «کاپولای مربعی کشیده و چرخان» (elongated square gyrobicupola) یا «شبه‌رومبی‌کوب‌اوکتاهدرون» شناخته می‌شود. کپلر زمانی اظهار داشت که چهارده جسم ارشمیدسی وجود دارد، اما فهرست منتشرشده توسط او تنها شامل سیزده چندوجهی یکنواخت بود. نخستین اشاره صریح به وجود چنین جسمی توسط دانکن سامرویل در سال ۱۹۰۵ صورت گرفت. این جسم زمانی پدیدار شد که برخی ریاضیدانان به اشتباه سعی در ساخت «رومبی‌کوب‌اوکتاهدرون» داشتند؛ بدین صورت که دو کاپولای مربعی را به یک منشور هشت‌ضلعی متصل کردند، اما یکی از آنها را چهل‌وپنج درجه چرخاندند. آن سیزده جسم دارای ویژگی «تراگذریِ رأس» (vertex-transitivity) هستند—به این معنا که می‌توان هر رأس را با یک تبدیل هندسی بر رأس دیگر منطبق کرد اما کاپولای مربعی کشیده و چرخان فاقد این ویژگی است. گرونباوم (۲۰۰۹) خاطرنشان کرد که این جسم با تعریفی ضعیف‌تر از اجسام ارشمیدسی مطابقت دارد؛ تعریفی که در آن «یکسان بودن رئوس» صرفاً بدین معناست که اجزای چندوجهی در مجاورت هر دو رأس، ظاهری یکسان دارند (یعنی شکل وجوهِ متصل به هر رأس، ترتیب قرارگیری آنها و زوایای تشکیل‌شده، در همه رئوس یکسان است). گرونباوم به خطایی رایج اشاره کرد که در آن نویسندگان، اجسام ارشمیدسی را بر اساس شکلی از این تعریفِ «موضعی» توصیف می‌کنند اما چهاردهمین چندوجهی را از قلم می‌اندازند. اگر قرار بر فهرست کردن تنها سیزده چندوجهی باشد، تعریف باید به جای ویژگی‌های محلی (همسایگی‌های رأس)، بر تقارن‌های کلی (سراسری) چندوجهی استوار باشد. در نهایت، کاپولای مربعی کشیده و چرخان از رده اجسام ارشمیدسی خارج و در دسته «اجسام جانسون» (چندوجهی‌های محدبی که تمام وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم است) طبقه‌بندی شد.[۱]
فهرست
[ویرایش | اشتراک‌گذاری]منابع
[ویرایش | اشتراک‌گذاری]- ↑ ویکی پدیای انگلیسی
- مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Archimedean solid». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲ سپتامبر ۲۰۱۸.
پیوند به بیرون
[ویرایش | اشتراک‌گذاری]
