نسبت طلایی

تعبیر هندسی نسبت طلایی

مستطیل طلایی

نسبت طلایی یا عدد فی (به انگلیسی: Golden ratio) در ریاضیات و هنر هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد.»

تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.

عدد فی

بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی $\phi$ یا عدد فی را برای این عدد انتخاب کرده‌اند. مقدار عددی عدد طلایی برابر به طور تقریبی برابر است با:

$\varphi \approx 1.61803\,39887\dots\,$

تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔ M روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a. این نسبت برابر φ است. یعنی:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.$

عدد فی با تعداد اعشار بیشتر

عدد فی با ۲٬۰۰۰ رقم اعشار به شرح زیر است.

۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۴۸۴۸۲۰۴۵۸۶۸۳۴۳۶۵۶۳۸۱۱۷۷۲۰۳۰۹۱۷۹۸۰۵۷۶۲۸۶۲۱۳۵۴۴۸۶۲۲۷۰۵۲۶۰۴۶۲۸۱۸۹۰ ۲۴۴۹۷۰۷۲۰۷۲۰۴۱۸۹۳۹۱۱۳۷۴۸۴۷۵۴۰۸۸۰۷۵۳۸۶۸۹۱۷۵۲۱۲۶۶۳۳۸۶۲۲۲۳۵۳۶۹۳۱۷۹۳۱۸۰۰۶۰۷۶۶۷۲۶۳۵ ۴۴۳۳۳۸۹۰۸۶۵۹۵۹۳۹۵۸۲۹۰۵۶۳۸۳۲۲۶۶۱۳۱۹۹۲۸۲۹۰۲۶۷۸۸۰۶۷۵۲۰۸۷۶۶۸۹۲۵۰۱۷۱۱۶۹۶۲۰۷۰۳۲۲۲۱۰۴ ۳۲۱۶۲۶۹۵۴۸۶۲۶۲۹۶۳۱۳۶۱۴۴۳۸۱۴۹۷۵۸۷۰۱۲۲۰۳۴۰۸۰۵۸۸۷۹۵۴۴۵۴۷۴۹۲۴۶۱۸۵۶۹۵۳۶۴۸۶۴۴۴۹۲۴۱۰۴ ۴۳۲۰۷۷۱۳۴۴۹۴۷۰۴۹۵۶۵۸۴۶۷۸۸۵۰۹۸۷۴۳۳۹۴۴۲۲۱۲۵۴۴۸۷۷۰۶۶۴۷۸۰۹۱۵۸۸۴۶۰۷۴۹۹۸۸۷۱۲۴۰۰۷۶۵۲۱ ۷۰۵۷۵۱۷۹۷۸۸۳۴۱۶۶۲۵۶۲۴۹۴۰۷۵۸۹۰۶۹۷۰۴۰۰۰۲۸۱۲۱۰۴۲۷۶۲۱۷۷۱۱۱۷۷۷۸۰۵۳۱۵۳۱۷۱۴۱۰۱۱۷۰۴۶۶۶ ۵۹۹۱۴۶۶۹۷۹۸۷۳۱۷۶۱۳۵۶۰۰۶۷۰۸۷۴۸۰۷۱۰۱۳۱۷۹۵۲۳۶۸۹۴۲۷۵۲۱۹۴۸۴۳۵۳۰۵۶۷۸۳۰۰۲۲۸۷۸۵۶۹۹۷۸۲۹ ۷۷۸۳۴۷۸۴۵۸۷۸۲۲۸۹۱۱۰۹۷۶۲۵۰۰۳۰۲۶۹۶۱۵۶۱۷۰۰۲۵۰۴۶۴۳۳۸۲۴۳۷۷۶۴۸۶۱۰۲۸۳۸۳۱۲۶۸۳۳۰۳۷۲۴۲۹۲ ۶۷۵۲۶۳۱۱۶۵۳۳۹۲۴۷۳۱۶۷۱۱۱۲۱۱۵۸۸۱۸۶۳۸۵۱۳۳۱۶۲۰۳۸۴۰۰۵۲۲۲۱۶۵۷۹۱۲۸۶۶۷۵۲۹۴۶۵۴۹۰۶۸۱۱۳۱۷ ۱۵۹۹۳۴۳۲۳۵۹۷۳۴۹۴۹۸۵۰۹۰۴۰۹۴۷۶۲۱۳۲۲۲۹۸۱۰۱۷۲۶۱۰۷۰۵۹۶۱۱۶۴۵۶۲۹۹۰۹۸۱۶۲۹۰۵۵۵۲۰۸۵۲۴۷۹۰ ۳۵۲۴۰۶۰۲۰۱۷۲۷۹۹۷۴۷۱۷۵۳۴۲۷۷۷۵۹۲۷۷۸۶۲۵۶۱۹۴۳۲۰۸۲۷۵۰۵۱۳۱۲۱۸۱۵۶۲۸۵۵۱۲۲۲۴۸۰۹۳۹۴۷۱۲۳۴ ۱۴۵۱۷۰۲۲۳۷۳۵۸۰۵۷۷۲۷۸۶۱۶۰۰۸۶۸۸۳۸۲۹۵۲۳۰۴۵۹۲۶۴۷۸۷۸۰۱۷۸۸۹۹۲۱۹۹۰۲۷۰۷۷۶۹۰۳۸۹۵۳۲۱۹۶۸۱ ۹۸۶۱۵۱۴۳۷۸۰۳۱۴۹۹۷۴۱۱۰۶۹۲۶۰۸۸۶۷۴۲۹۶۲۲۶۷۵۷۵۶۰۵۲۳۱۷۲۷۷۷۵۲۰۳۵۳۶۱۳۹۳۶۲۱۰۷۶۷۳۸۹۳۷۶۴۵ ۵۶۰۶۰۶۰۵۹۲۱۶۵۸۹۴۶۶۷۵۹۵۵۱۹۰۰۴۰۰۵۵۵۹۰۸۹۵۰۲۲۹۵۳۰۹۴۲۳۱۲۴۸۲۳۵۵۲۱۲۲۱۲۴۱۵۴۴۴۰۰۶۴۷۰۳۴۰ ۵۶۵۷۳۴۷۹۷۶۶۳۹۷۲۳۹۴۹۴۹۹۴۶۵۸۴۵۷۸۸۷۳۰۳۹۶۲۳۰۹۰۳۷۵۰۳۳۹۹۳۸۵۶۲۱۰۲۴۲۳۶۹۰۲۵۱۳۸۶۸۰۴۱۴۵۷۷ ۹۹۵۶۹۸۱۲۲۴۴۵۷۴۷۱۷۸۰۳۴۱۷۳۱۲۶۴۵۳۲۲۰۴۱۶۳۹۷۲۳۲۱۳۴۰۴۴۴۴۹۴۸۷۳۰۲۳۱۵۴۱۷۶۷۶۸۹۳۷۵۲۱۰۳۰۶۸ ۷۳۷۸۸۰۳۴۴۱۷۰۰۹۳۹۵۴۴۰۹۶۲۷۹۵۵۸۹۸۶۷۸۷۲۳۲۰۹۵۱۲۴۲۶۸۹۳۵۵۷۳۰۹۷۰۴۵۰۹۵۹۵۶۸۴۴۰۱۷۵۵۵۱۹۸۸۱ ۹۲۱۸۰۲۰۶۴۰۵۲۹۰۵۵۱۸۹۳۴۹۴۷۵۹۲۶۰۰۷۳۴۸۵۲۲۸۲۱۰۱۰۸۸۱۹۴۶۴۴۵۴۴۲۲۲۳۱۸۸۹۱۳۱۹۲۹۴۶۸۹۶۲۲۰۰۲ ۳۰۱۴۴۳۷۷۰۲۶۹۹۲۳۰۰۷۸۰۳۰۸۵۲۶۱۱۸۰۷۵۴۵۱۹۲۸۸۷۷۰۵۰۲۱۰۹۶۸۴۲۴۹۳۶۲۷۱۳۵۹۲۵۱۸۷۶۰۷۷۷۸۸۴۶۶۵ ۸۳۶۱۵۰۲۳۸۹۱۳۴۹۳۳۳۳۱۲۲۳۱۰۵۳۳۹۲۳۲۱۳۶۲۴۳۱۹۲۶۳۷۲۸۹۱۰۶۷۰۵۰۳۳۹۹۲۸۲۲۶۵۲۶۳۵۵۶۲۰۹۰۲۹۷۹۸ ۶۴۲۴۷۲۷۵۹۷۷۲۵۶۵۵۰۸۶۱۵۴۸۷۵۴۳۵۷۴۸۲۶۴۷۱۸۱۴۱۴۵۱۲۷۰۰۰۶۰۲۳۸۹۰۱۶۲۰۷۷۷۳۲۲۴۴۹۹۴۳۵۳۰۸۸۹۹ ۹۰۹۵۰۱۶۸۰۳۲۸۱۱۲۱۹۴۳۲۰۴۸۱۹۶۴۳۸۷۶۷۵۸۶۳۳۱۴۷۹۸۵۷۱۹۱۱۳۹۷۸۱۵۳۹۷۸۰۷۴۷۶۱۵۰۷۷۲۲۱۱۷۵۰۸۲۶ ۹۴۵۸۶۳۹۳۲۰۴۵۶۵۲۰۹۸۹۶۹۸۵۵۵۶۷۸۱۴۱۰۶۹۶۸۳۷۲۸۸۴۰۵۸۷۴۶۱۰۳۳۷۸۱۰۵۴۴۴۳۹۰۹۴۳۶۸۳۵۸۳۵۸۱۳۸۱ ۱۳۱۱۶۸۹۹۳۸۵۵۵۷۶۹۷۵۴۸۴۱۴۹۱۴۴۵۳۴۱۵۰۹۱۲۹۵۴۰۷۰۰۵۰۱۹۴۷۷۵۴۸۶۱۶۳۰۷۵۴۲۲۶۴۱۷۲۹۳۹۴۶۸۰۳۶۷ ۳۱۹۸۰۵۸۶۱۸۳۳۹۱۸۳۲۸۵۹۹۱۳۰۳۹۶۰۷۲۰۱۴۴۵۵۹۵۰۴۴۹۷۷۹۲۱۲۰۷۶۱۲۴۷۸۵۶۴۵۹۱۶۱۶۰۸۳۷۰۵۹۴۹۸۷۸۶ ۰۰۶۹۷۰۱۸۹۴۰۹۸۸۶۴۰۰۷۶۴۴۳۶۱۷۰۹۳۳۴۱۷۲۷۰۹۱۹۱۴۳۳۶۵۰۱۳۷۱۵...

پیشینه

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.

طبیعت

لئوناردو داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد طلایی هستند.

نسبت طلایی در ایران

برج و میدان آزادی:طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۵/۱=۴۲: ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشدسبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می‌نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه:خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می‌سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است. می‌دانیم۶/۱=۵/۲: ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه:به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست. اعداد۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۶/۱=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت "داریوش"۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر) بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند.

یکی از هنرهای معماری در تخت جمشید این است که نسبت ارتفاع سر درها به عرض آنها و همین طور نسبت ارتفاع ستون‌ها به فاصلهٔ بین دو ستون نسبت طلایی است. نسبت طلایی نسبت مهمی در هندسه است که در طبیعت وجود دارد. این نشانگر هنر ابرانیان باستان در معماری است.

پل ورسک در مازندران: این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد. بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۶/۱ = ۶۶: ۱۱۰).

مقبره ابن سینا:آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور (مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده‌گانه برج را احاطه کرده‌اند. سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است. ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۶/۱=۹/۱: ۲/۳)در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است؛ و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است. طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر وعرض آن ۷۵/۵ متر است(۶/۱=۷۵/۵: ۴۵/۹)

ارگ بم:این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده است. این دژ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد. (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

میدان نقش جهان و مسجد لطف‌الله:در کتب اخیر، نویسنده جیسون الیوت بر این باور است که نسبت طلایی توسط طراحان میدان نقش جهان و در مجاورت مسجد لطف‌الله مورد استفاده قرار گرفته است.

عدد فی و معماری اسلامی

گفته می‌شود که: "اگر فاصله کعبه را در شهر مکه تا قطب شمال و جنوب اندازه گرفته و به هم تقسیم کنید عدد فی بدست خواهد آمد. برای اطمینان می‌توانید از نرم‌افزار Google Earth استفاده کنید و به این حقیقت دست یابید." کعبه در لتیتودِ ۲۱٫۴۲۲۴۹۴۵ می‌باشد که به تناسبِ (۹۰-۲۱٫۴۲۲۴۹۴۵)/(۹۰+۲۱٫۴۲۲۴۹۴۵) برابر با ۱٫۶۲۴۷۶۷۳۹ می‌باشد که با عددِ فی تطابق دارد.(بعد از محاسبات دقیق مشخص شده است که نقطهٔ موردنظر ۲۵۰ کیلومتر با کعبه فاصله دارد)

تاکنون نه تنها در کتاب رمز داوینچی بلکه پیام‌ها، اسرار مذهبی و کهن در دیوارهای زیارتگاه‌های اسلامی به صورت رمز قرار مشاهده شده است. بسیاری از کاشیکاری‌های بناهای اسلامی متعلق به ۵۰۰سال پیش توانسته‌اند الگوهای فراوان ریاضی پیدا کنند که تا دهه ۱۹۷۰ برای غربی‌ها ناشناخته بوده است. اساس یک طراحی هندسی برای نشان دادن یک نماد از علم «ماندالا» است که به عقیده بسیاری از ملت شرق به تعمق و اندیشه کمک می‌کند خلق بسیاری از نامحدودها با استفاده از مثلث و مستطیل طلایی از این گونه است

کیث کریچلو" keith Critchlowنویسنده کتاب "الگوهای ریاضی اسلامی" چنین ادعا می‌کند: ما دریافته‌ایم که اسلام در دوره قرون وسطی تا چه اندازه پیشرفته بوده است. نام این الگوهای ریاضی پیچیده در آن دوران "شیمی بیضی متقارن ممنوعه" می‌نامند. آنها از الگوی کاشی‌های هرمی برخوردارند و با چرخش یک سوم در آن قابل شناسایی هستند. همین قانون برای کاشی‌های مستطیلی نیز پیروی می‌کند که با چرخش یک چهارم قابل شناسایی هستند ما برای کاشی‌های شش گوش چرخش یک ششم لازم است. اما این شبکه‌ها بدون وجود پنج‌ضلعی‌ها کامل نمی‌شوند و بدون رعایت فاصله میان آنها در کنار هم جفت نمی‌شوند و نمی‌توان آنها را با با چرخش یک پنجم در کنار هم قرار داد. آقای لو توانست در دیوار یکی از زیارتگاه‌های ایران دو نوع از این کاشیکاری‌ها بزرگ را که با کاشی‌های هم‌شکل ساخته شده بود، کشف کند به گونه‌ای که ظاهراً از نسبت طلایی فیثاغورثی تبعیت می‌کردند. کریچلو در این‌باره می‌گوید: سازندگان بنا بطور حتم از این نسبت خبر داشتند.

در سال ۱۹۷۳سر «راجر پنروس» Roger Penroseریاضی‌دان برجسته غربی توانست با در نظر گرفتن این پنج‌ضلعی‌ها الگویی پنج تایی با شکلی بسازد که از آن به عنوان کیت و یا دارت نام برده می‌شود. او نخستین غربی بود که این حساب را کشف کرد و در آن زمان گمان می‌کرد نخستین کسی است به این موضوع پی برده‌است. خلاقیت وی به خلق خواص ریاضیاتی منجر شد هر دسته می‌تواند حاوی تعداد مشخصی‌از کیت‌ها و دارت‌هایی باشد که می‌توانند تا بی‌نهایت و بدون تکرارپذیری الگوهای کوچکتری از کیتها و دارت‌ها بسازند. هر چقدر تعداد این اشکال ریز افزایش پیدا کند آنگاه نسبت کیت‌ها به دارت‌ها به نسبتی موسوم به «نسبت طلایی» می‌رسد.

"گلرو نجیب اوغلو" Gulru Nacipogluیکی از اساتید دانشگاه هاروارد می‌گوید: خلقت انسان مشابه هم است و شکل مشخصی دارد که از عجایب خلقت خداوندی است این که این الگوها به کجا ختم می‌شوند و به صورت هوشمندانه‌ای در درها و پنجره‌ها به کار رفته‌اند مسئله‌ای است که نمی‌توان مشخص کرد. به گفته وی، با وجود این که الگوی پنروس به قرن ۱۴یا ۱۵بازمی‌گردد اما این اشکال کاشیکاری در دنیای اسلام از صدها سال قبل از آن به کار گرفته شده است. در منبتکاری‌های ایران در قرن پانزدهم و اوایل شانزدهم فهرستی از بسیاری از این طرح‌ها قرار دارند که ممکن است سرنخی برای شکوه ریاضیات اسلامی در مساجد ایران و ترکیه و مدارس بغداد و زیارتگاه‌های هند و افغانستان باشد. دانشمندان اکنون می‌دانند که مسلمانان در آن دوران می‌توانستند معادلات جبری به توان ۳و فراتر از آن را حل کنند معادلاتی که بسیار دشوارتر از معادله دو مجهولی است و اساس جبر به شمار می‌رود. مسلمانان همچنین دارای حسابگرهای مکانیکی بودند و در علم داروشناسی و ستاره‌شناسی پیشرفته‌تر از اروپایی‌ها بوده‌اند اما با این حال جای تاسف است که تعداد اندکی از این دانشمندان درباره یافته‌های خود کتاب و یا اثر به رشته تحریر درآورده‌اند".

ترسیم

برای رسم کردن مستطیل طلایی ابتدا مربع ABCD با استفاده از ضلع کوچک رسم می‌شود. سپس ضلع AB را نصف کرده، از وسط آن (نقطه G) با پرگار یک قوس به شعاع GC ترسیم کرده و ضلع بزرگ مستطیل (AE) را به دست می‌آورند. با توجه به شکل ترسیم شده، نصف طول این ضلع برابر نسبت طلایی است.

محاسبات

تعبیر هندسی نسبت طلایی

برای بدست آوردن نسبت طلائی از تعریف هندسی آن استفاده می‌کنیم:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,$

از این معادله که تعریف عدد $\varphi$ است، که از معادله سمت راست می‌توان نتیجه گرفت: $a=b\varphi$، پس خواهیم داشت:

$\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,$

با حذف b از طرفین به دست می‌آید:

$\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi$

پس از ساده‌سازی این معادله، معادله درجه دومی بر حسب $\varphi$ به دست می‌آید:

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$

و پاسخ مثبت آن:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1.61803\,39887\dots\,$

که همان نسبت طلائی است.

همچنین با استفاده از رابطهٔ اول می‌توان با ساده کردن به کسر مسلسل زیر برای عدد گنگ فی رسید:

$1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}$

یکی از کاربردهای این کسر محاسبهٔ تقریبی عدد فی بدون نیاز به محاسبه گر پیشرفته می‌باشد.

جستارهای وابسته

• دنباله فیبوناچی

منابع

• حسینی‌راد، عبدالمجید. مبانی هنرهای تجسمی (قسمت اول). شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی ایران، ۱۳۸۲. ص.۷۲. 
• Jason Elliot (2006). "Mirrors+of+the+Unseen"+golden-ratio+maidan Mirrors of the Unseen: Journeys in Iran. Macmillan. pp. 277, 284. ISBN 978-0-312-30191-0.