روش‌های رونگه‐کوتا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

به دسته‌ای از مهم‌ترین روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل عادی گفته می‌شود که توسط دو دانشمند آلمانی، رونگه و کوتا ابداع شده است. یکی از پرکاربردترین این روش‌ها رونگه−کوتای مرتبه چهار می‌باشد.

رونگه−کوتای مرتبه چهار[ویرایش]

معادله دیفرانسیل عادی زیر را با شرط اولیه داده شده را در نظر بگیرید:

 y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0

برای بدست آوردن مقدار تابع y در یک واحد زمان جلوتر از رابطه زیر استفاده می‌شود:

 y_{n+1} = y_n + {h \over 6} \left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)

که در آن:

\begin{align} 
k_1 &= hf \left( t_n, y_n \right) \\
k_2 &= hf \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {1 \over 2} k_1 \right) \\
k_3 &= hf \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {1 \over 2} k_2 \right) \\
k_4 &= hf \left( t_n + h, y_n + k_3 \right) \\
\end{align}

و h بازه زمانی است. انتخاب مقدار واحد زمانی بر اساس مقدار دقت مورد نیاز صورت می‌گیرد. هر چه مقدار واحد زمانی مورد استفاده کمتر باشد دقت روش رونگه−کوتا بالاتر می‌رود. البته با کاهش مقدار واحد زمانی از یک سو تعداد مراحل محاسبه و در نتیجه حجم محاسبات افزایش می‌یابد و از سوی دیگر خطای گرد کردن نیز افزایش می‌یابد.