روش‌های رونگه‐کوتا

معادلات دیفرانسیل
حوزه کاربرد علوم طبیعی و مهندسی اخترشناسی فیزیک شیمی زیست‌شناسی زمین‌شناسی ریاضیات کاربردی مکانیک محیط‌های پیوسته نظریه آشوب سیستم‌های دینامیکی علوم اجتماعی علم اقتصاد دینامیک جمعیت
طبقه‌بندی
نوع عملگرها عملگر دیفرانسیلی نمادگذاری‌های مشتق معادلات دیفرانسیل معمولی معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای دیفرانسیلی-جبری انتگرو-دیفرانسیلی Fractional خطی غیرخطی
ویژگی‌های متغیرها متغیر وابسته و مستقل معادله دیفرانسیل همگن معادلات دیفرانسیل معمولی جفتیده غیرجفتیده مرتبه درجه اتونوموس معادله دیفرانسیل کامل معادله دیفرانسیل مختلط
رابطه با فرآیندها تفاضل (مشابه گسسته) معادله دیفرانسیل تصادفی تاخیر
پاسخ‌ها
عناوین پاسخ‌ها قضیه پیکارد لیندلوف (وجود و یکتایی) رونسکین Phase portrait فضای فاز پایداری لیاپونوف پایداری مجانبی پایداری نمایی آهنگ همگرایی پاسخ‌های به فرم سری پاسخ‌های انتگرالی انتگرال‌گیری عددی تابع دلتای دیراک
روش‌های حل وارسی جداسازی متغیرها روش ضرایب نامعین فاکتور انتگرال‌گیری تبدیل انتگرالی روش اویلر روش تفاضل محدود کرنک نیکلسون روش‌های رونگه‐کوتا روش اجزاء محدود روش گالرکین نظریه اختلال
ریاضی‌دان‌ها آیزاک نیوتن لئونارد اویلر چارلز امیل پیکارد جوزف ماریا هوئن-رونسکی ارنست لیندلف رودولق لیپشیتز آگوستین لویی کوشی جان کرنک فیلیس نیکولسون کارل دیوید تولم رونگ مارتین ولهلم کوتا

‫‫به دسته‌ای از ‫مهم‌ترین روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل عادی گفته می‌شود که توسط دو دانشمند آلمانی، رونگه و کوتا ابداع شده است. یکی از پرکاربردترین این روش‌ها رونگه−کوتای مرتبه چهار می‌باشد.

رونگه−کوتای مرتبه چهار

‫معادله دیفرانسیل عادی‫ زیر را با شرط اولیه داده شده را در نظر بگیرید:

$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$

‫برای بدست آوردن مقدار تابع y در یک واحد زمان جلوتر از رابطه زیر استفاده می‌شود:

$y_{n+1} = y_n + {h \over 6} \left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)$

که در آن:‫

$\begin{align} k_1 &= hf \left( t_n, y_n \right) \\ k_2 &= hf \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {1 \over 2} k_1 \right) \\ k_3 &= hf \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {1 \over 2} k_2 \right) \\ k_4 &= hf \left( t_n + h, y_n + k_3 \right) \\ \end{align}$

‫و h بازه زمانی است. انتخاب ‫مقدار واحد زمانی بر اساس مقدار دقت مورد نیاز صورت می‌گیرد. هر چه مقدار واحد زمانی مورد استفاده کمتر باشد دقت روش رونگه−کوتا بالاتر می‌رود. البته با کاهش مقدار واحد زمانی از یک سو تعداد مراحل محاسبه و در نتیجه حجم محاسبات افزایش می‌یابد و از سوی دیگر خطای گرد کردن نیز افزایش می‌یابد.