نظریه اختلال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

نظریه اختلال[ویرایش]

در مكانيك كوانتمي، نظريهٔ اختلال، مجموعه‌ای از طرح‌هاي تقريبی است كه مستقيماً مربوط به اختلال وابسته به رياضي است كه براي توصيف يك مجموعهٔ كوانتمي پيچيده بر حسب يك مجموعهٔ ساده‌تر بكار مي‌رود. ايدهٔ ما اين است كه با يك سيستم ساده شروع نمائيم كه در آن يك روش رياضي شناخته شده است و افزودن هاميلتون، آشفته، نشان دهندهٔ اختلال ضعيف در سيستم خواهد بود. اگر اختلال زياد نباشد، كميت‌هاي مختلف فيزيكي توأم با سيستم آشفته (براي مثال سطح انرژي و حالت انرژي)، طبق الزامات پيوستگي، بصورت اصطلاحات سيستم ساده تعريف می‌شوند. اين اصطلاحات، اگرچه در مقايسه با مقدار كميت‌ها كوچك هستند، مي‌توانند با استفاده از روش‌های تقربي مانند مجموعه‌هاي مجانب محاسبه شوند. بنابراين سيستم پيچيده را مي‌توان بر مبناي دانش سيستم ساده‌تر مورد مطالعه قرار داد. [۱]

كاربردهاي نظريه‌ي اختلال[ویرایش]

نظريهٔ اختلال ابزار مناسبي براي توصيف سيستم‌هاي كوانتومي است، زيرا يافتن روش دقيقي در معادلات شرودينگر در هاميلتون‌هايي با پيچيدگي متوسط دشوار است. حركت‌هاي هاميلتوني كه ما براي آن‌ها روش دقيقي داريم مانند اتم هيدوژن، نوسانگر هماهنگ كوانتوم و ذرات داخل جعبه، براي توصيف اغلب سيستم‌ها بسيار ايده‌آل هستند. با استفاده از نظريهٔ اختلال، ما مي‌توانيم از روش‌هاي شناخته شده‌اي از اين هاميلتون ساده براي ارائهٔ روش‌هايي براي دامنه‌اي از سيستم‌هاي پيچيده استفاده نمائيم. براي مثال، با افزودن پتانسيل الكتريكي اختلالي به مدل مكانيكي كوانتوم اتم هيدروژن، مي‌توانيم تغييرات كوچك موجود در خطوط طیفی هیدروژن را كه حاصل از وجود ميدان الكتريكي (اثر استارك) است محاسبه نمائيم. اين محاسبه تقريبي است، زيرا جمع پتانسيل كولن با پتانسيل خطي غير ثابت مي‌باشد، اگر زمان تونل‌زني بسيار طولاني است. اين امر بصورت بسط انرژي خطوط طيفي نشان داده شده است، چيزي كه نظريهٔ اختلال نتوانست بطور كامل آنرا عملي نمايد. مقادير بدست آمده حاصل از نظريهٔ اختلال دقيق نمي‌باشند، ولی نتايج دقيقي را مانند پارامترهاي بسط دهنده در اختيارمان قرار مي‌دهند.

در تئوري الكتروديناميك كوانتوم كه در آن تعامل فوتون الكترون بصورت آشفته مي‌باشد، محاسبهٔ گشتاور مغناطيسي الكترون با ۱۱ اعشار سازگار خواهد بود. تحت برخي از شرايط، تئوري اختلال رويكرد نامعتبري محسوب مي‌گردد. اين امر زماني بروز مي‌نمايد كه ما نتوانيم سيستم را با اختلال تحميلي اندك در سيستم‌هاي ساده توصيف نمائيم. براي مثال در ديناميك رنگي كوانتوم‌ها، تعامل كولاك با گلون در سطوح كم‌انرژي آشفتگي ايجاد نمي‌نمايد، زيرا ثابت‌هاي جفت (پارامترهاي توسعه‌اي) بسيار بزرگ مي‌شوند. تئوری اختلال هم‌چنين نمي‌تواند حالاتي را كه بصورت آدياباتيك از «مدل آزاد» بوجود آمده‌اند را توصيف نمايد، مانند حالات مرزي و پديده‌هاي جمعي مختلف مانند سولتون. براي مثال، تصور نمائيد كه ما داراي سيستمي با ذرات آزاد هستيم كه در آن يك تعامل جالبي وجود دارد. بسته به نوع تعامل اين امر ممكن است موجب ايجاد مجموعه پديدي از حالات انرژي مرتبط با گروهي از ذرات گردد كه به يكديگر متصل هستند. يك نمونه از اين پديده در فوق‌ هدايت قراردادي مشاهده شده است كه در آن جاذبه‌ي فونون بين الكترون‌هاي رسانا موجب تشكيل جفت‌هاي الكتروني هسته مي‌شود كه جفت‌هاي كوپر ناميده مي‌شوند. حين مواجهه با چنين سيستم‌هايي اغلب يكي به نماي تقريبي ديگري تبديل مي‌شوند مانند متدهاي تغيير و تقريب WKB. اين امر بدين دليل است كه هيچگونه شباهتي از ذرات پيوسته در مدل آشفته و انرژي سوليتون وجود ندارد كه عكس پارامترهاي انبساطي مي‌باشد. به هر حال اگر ما پديده‌ي سوليتون را يكپارچه نمائيم، اصطلاحات غير مختل در اين جا بسيار اندك خواهد بود. نظريهٔ اختلال تنها مي‌تواند محصول‌هايي را مورد بررسي قرار دهد كه رابطه‌ي نزديكي با محصول‌هاي غيرآشفته دارند، حتي اگر محصول‌هاي ديگري نيز وجود داشته باشد(كه بعنوان پارامتر انبساطي است كه به سمت صفر سوق مي‌يابد). مسئله‌ي سيستم‌هاي غيرآشفته تا حدودي با كامپيوترهاي مدرن حل شد. بدست آوردن چندين روش غير اختلالي عددي در برخي مسائل خاص عملي گرديد كه در آن‌ها از متدهايي مانند نظريه‌ي كاربردي چگالي استفاده مي‌نمودند. اين پيشرفت‌ها در زمينهٔ شيمي كوانتوم بسيار موثر بوده است. از كامپيوترها هم‌چنين براي محاسبات نظريهٔ اختلال استفاده فراواني شده است كه در فيزيك ذرات اهميت فراواني دارد و با استفاده از آن‌ها مي‌توان نتايج تئوريكي را توليد نمود كه قابل قياس با آزمايشات مي‌باشد.

نظريه‌ي اختلال مستقل از زمان[ویرایش]

اين نظريه يكي از مقوله‌هاي نظريهٔ اختلال است و مقولهٔ ديگر آن وابسته به زمان مي‌باشد. در نظريهٔ مستقل از زمان هاميلتون اختلالي ايستا مي‌باشد (يعني هيچگونه وابستگي زماني ندارد). نظريهٔ وابسته به زمان در مقاله ۱۹۲۶ اروين شرودينگر ارائه گرديد كه اندكي پس از ارائه‌ي نظريات او در مكانيك امواج بود. در اين وقاله شرودينگر به آثار اوليهٔ لرد رايلي اشاره نمود كه در ارتعاشات هارمونيك لايه‌هاي آشفته شده بواسطهٔ ناهماهنگي اندك را بررسي نموده بود. به همين دليل است كه نظريه‌ي اختلال رايلي- شرودينگر نيز ناميده مي‌شود.

اصطلاحات مرتبه اول[ویرایش]

ما با هاميلتون غير آشفتهٔ  H_0 آغاز مي‌نمائيم كه مفروض است هيچ‌گونه وابستگي زماني ندارد. داراي سطوح و حالات انرژي شناخته شده است كه حاصل از معادلهٔ مستقل از زمان شرودينگر مي‌باشد:

 H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots

به منظور وضوح بيشتر فرض مي‌نمائيم كه انرژي‌ها گسسته مي باشند. بالاوند (0) نشان مي‌دهد كه اين كيمت‌ها همراه با سيستم آشفته مي‌باشند. به استفاده براكت توجه نمائيد. حال ما يك اختلال در هاميلتون ايجاد مي‌نمائيم. فرض می‌کنیم V هاميلتوني باشد كه نشان دهندهٔ اختلال فيزيكي ضعيف است، مانند انرژي پتانسيل ايجاد شده توسط ميدان خارجي (بنابراين V يك عامل هرميتي است). هاميلتون آشفته به اين صورت مي‌باشد:

 H = H_0 + \lambda V

سطوح انرژي و حالات انرژي هاميلتون آشفته با معادله‌ي شرودينگر ارائه شده است:

 \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang .

هدف ما بيان E_n و |n\rang بر حسب سطوح و حالات انرژي هاميلتون پيشين مي‌باشد. اگر آشفتگي ضعيف باشد، مي‌توان آنها را بصورت زنجيره‌هاي نيرو و بدين صورت نوشت:

 E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots
 |n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots
 E_n^{(k)} = \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k}
 |n^{(k)}\rang = \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}.

زمانيكه λ = 0 باشد، اين مقدار غيرآشفته كاهش مي‌يابد كه اولين مقدار در هر مجموعه تلقي مي‌شوند. از آنجا كه آشفتگي ضعيف مي‌باشد، سطوح و حالات انرژي از مقادير غيرآشفته‌شان منحرف شوند و با سوق به سمت مراتب بالاتر اين مقادير كوچكتر مي‌شوند. با اتصال مجموعه‌هاي نيرو به معادله‌ي شرودينگر، خواهيم داشت:

\begin{matrix}
\left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\
\qquad\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right)
\end{matrix}

بسط اين معادله و مقايسهٔ ضرايب هر يك از توان‌هاي λ موجب بدست آمدن مجموعه‌هاي نامحدود از معادلات همزمان مي‌گردد. معادلهٔ مرتبهٔ صفر معادلهٔ شرودينگر در سيستم آشفاه مي‌باشد. معادلهٔ مرتبه اول بدين صورت مي‌باشد:

 H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang

اولين عبارت در سمت چپ با عبارت موجود در سمت راست حذف مي‌شود. (به ياد داشته باشيد كه هاميلتون غيرآشفته هرميتي مي‌باشد). این امر منجر به تغيير انرژي مرتبه اول مي‌گردد:

 H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang

اين امر پيش‌بيني مقدار هاميلتون اختلالي است كه سيستم در حالت غيرآشفته مي‌باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Cropper, William H. (2004), Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking, انتشارات دانشگاه آکسفورد, p. 34, ISBN 978-0-19-517324-6 .
  • امیر آقامحمدی. اختلال. . گاما، ش. ۴ (پاییز ۱۳۸۳): صفحهٔ ۳۹.