نظریه اختلال

نظریه اختلال

در مكانيك كوانتمي، نظريه‌ي اختلال، مجموعه‌ای از طرح‌هاي تقريبی است كه مستقيماً مربوط به اختلال وابسته به رياضي است كه براي توصيف يك مجموعه‌ي كوانتمي پيچيده بر حسب يك مجموعه ساده‌تر بكار مي‌رود. ايده ما اين است كه با يك سيستم ساده شروع نمائيم كه در آن يك روش رياضي شناخته شده است و افزودن هاميلتون، آشفته، نشان دهنده‌ي اختلال ضعيف در سيستم خواهد بود. اگر اختلال زياد نباشد، كميت‌هاي مختلف فيزيكي توأم با سيستم آشفته(براي مثال سطح انرژي و حالت انرژي)، طبق الزامات پيوستگي، اصطلاحات سيستم ساده تعريف مي‌كردند. اين اصطلاحات، اگرچه در مقايسه با سايز كميت‌ها كوچك هستند، مي‌توانند با استفاده از متدهاي تقربي مانند مجموعه‌هاي مجانب محاسبه شوند. بنابراين سيستم پيچيده را مي‌توان بر مبناي دانش سيستم ساده‌تر مورد مطالعه قرار داد.

كاربردهاي نظريه‌ي اختلال

نظريه‌ي اختلال ابزار مناسبي براي توصيف سيستم‌هاي كوانتومي است، زيرا يافتن روش دقيقي در معادلات شرودينگر در هاميلتون‌هايي با پيچيدگي متوسط دشوار است. حركت‌هاي هاميلتوني كه ما براي آن‌ها روش دقيقي داريم مانند اتم هيدوژن، نوسانگر هارمونيك كوانتوم و ذرات داخل جعبه، براي توصيف اغلب سيستم‌ها بسيار ايده‌آل هستند. با استفاده از نظريه‌ي اختلال، ما مي‌توانيم از روش‌هاي شناخته شده‌اي از اين هاميلتون ساده براي ارائه‌ي روش‌هايي براي دامنه‌اي از سيستم‌هاي پيچيده استفاده نمائيم. براي مثال، با افزودن پتانسيل الكتريكي اختلالي به مدل مكانيكي كوانتوم اتم هيدروژن، مي‌توانيم تغييرات كوچك موجود در خطوط طيفي هيدروژن كه حاصل از وجود ميدان الكتريكي(اثر استارك) است را محاسبه نمائيم. اين محاسبه تقريبي است زيرا جمع پتانسيل كولن با پتانسيل خطي غير ثابت مي‌باشد، اگر زمان تونل‌زني بسيار طولاني است. اين امر بصورت بسط انرژي خطوط طيفي نشان داده شده است، چيزي كه نظريه‌ي اختلال نتوانست بطور كامل آنرا عملي نمايد. مقادير بدست آمده حاصل از نظريه‌ي اختلال دقيق نمي‌باشند، ول نتايج دقيقي را مانند پارامترهاي بسط دهنده در اختيارمان قرار مي‌دهند، براي مثال مقدار بسيار كوچك مي‌باشد. عموماً اين نتايج بر حسب مجموعه‌هاي نيروي محدود مانند بيان مي‌شوند كه زمانيكه با مرتبه‌ي بالاتر جمع مي‌شوند به مقادير دقيق‌تر نزديك مي‌شوند. به هر حال، پس از مرتبه‌ي خاصي از$n\sim 1/\alpha$ تدريجاً كاسته مي‌شود زيرا مجموعه‌ها عموماً واگرا مي‌باشند. روش‌هايي براي همگرا كردن آن‌ها وجود دارد كه در پارامترهاي گسترده مي‌تواند با استفاده از متد تغيير ارزياب گردد. در تئوري الكتروديناميك كوانتوم كه در آن تعامل فوتون الكترون بصورت آشفته مي‌باشد، محاسبه‌ي گشتاور مغناطيسي الكترون با 11 اعشار سازگار خواهد بود. در و ساير تئور‌هاي كوانتومي، ارتكنيك‌ها خاص محاسباتي مانند نمودارهاي فمن براي جمع نمودن سيستماتيك مجموعه‌اي نيرو استفاده مي‌شود. تحت برخي از شرايط، تئوري اختلال رويكرد نامعتبري محسوب مي‌گردد. اين امر زماني بروز مي‌نمايد كه ما نتوانيم سيستم را با اختلال تحميلي اندك در سيستم‌هاي ساده توصيف نمائيم. براي مثال در ديناميك رنگي كوانتوم‌ها، تعامل كولاك با گلون در سطوح كم‌انرژي آشفتگي ايجاد نمي‌نمايد زيرا ثابت‌هاي جفت(پارامترهاي توسعه‌اي) بسيار بزرگ مي‌شوند. تئور اختلال هم‌چنين نمي‌تواند حالاتي را كه بصورت آدياباتيك از «مدل آزاد» بوجود آمده‌اند را توصيف نمايد مانند حالات مرزي و پديده‌هاي جمعي مختلف مانند سولتون. براي مثال، تصور نمائيد كه ما داراي سيستمي با ذرات آزاد هستيم كه در آن يك تعامل جالبي وجود دارد. بسته به نوع تعامل اين امر ممكن است موجب ايجاد مجموعه پديدي از حالات انرژي مرتبط با گروهي از ذرات گردد كه به يكديگر متصل هستند. يك نمونه از اين پديده در فوق‌ هدايت قراردادي مشاهده شده است كه در آن جاذبه‌ي فونون بين الكترون‌هاي رسانا موجب تشكيل جفت‌هاي الكتروني هسته مي‌شود كه جفت‌هاي كوپر ناميده مي‌شوند. حين مواجهه با چنين سيستم‌هايي اغلب يكي بد نماي تقريبي ديگري تبديل مي‌شوند مانند متدهاي تغيير و تقريب WKB. اين امر بدين دليل است كه هيچگونه شباهتي از ذرات پيوسته در مدل آشفته و انرژي سوليتون وجود ندارد كه عكس پارامترهاي انبساطي مي‌باشد. به هر حال اگر ما پديده‌ي سوليتون را يكپارچه نمائيم، اصطلاحات غير مختل در اين جا بسيار اندك خواهد بود، از مرتبه‌ي يا در پارامتر اختلالي g . نظريه‌ي اختلال تنها مي‌تواند محصول‌هايي را مورد بررسي قرار دهد كه رابطه‌ي نزديكي با محصول‌هاي غيرآشفته دارد، حتي اگر محصول‌هاي ديگري نيز وجود داشته باشد(كه بعنوان پارامتر انبساطي است كه به سمت صفر سوق مي‌يابد). مسئله‌ي سيستم‌هاي غيرآشفته تا حدودي با كامپيوترهاي مدرن حل شد. بدست آوردن چندين روش غير اختلالي عددي در برخي مسائل خاص عملي گرديد كه در آن‌ها از متدهايي مانند نظريه‌ي كاربردي چگالي استفاده مي‌نمودند. اين پيشرفت‌ها در زمينه‌ي شيمي كوانتوم بسيار موثر بوده است. از كامپيوترها هم‌چنين براي محاسبات نظريه‌ي اختلال استفاده فراواني شد كه در فيزيك ذرات اهميت فراواني دارد و با استفاده از آن‌ها مي‌توان نتايج تئوريكي را توليد نمود كه قابل قياس با آزمايشات مي‌باشد.

نظريه‌ي اختلال مستقل از زمان

اين نظريه يكي از مقوله‌هاي نظريه‌ي اختلال است و مقوله‌ي ديگر آن وابسته به زمان مي‌باشد. در نظريه‌ي مستقل از زمان هاميلتون اختلالي ايستا مي‌باشد(يعني هيچگونه وابستگي زماني ندارد).نظريه‌ي وابسته به زمان در مقاله 1926 اروين شرودينگر ارائه گرديد كه اندكي پس از ارائه‌ي نظريات او در مكانيك امواج بود. در اين وقاله شرودينگر به آثار اوليه‌ي لرد رايلي اشاره نمود كه در ارتعاشات هارمونيك لايه‌هاي آشفته شده بواسطه‌ي ناهماهنگي اندك را بررسي نموده بود. به همين دليل است كه نظريه‌ي اختلال رايلي- شرودينگر نيز ناميده مي‌شود.

اصطلاحات مرتبه اول

ما با هاميلتون غير آشفته‌ي آغاز مي‌نمائيم كه مفروض است هيچ‌گونه وابستگي زماني ندارد. داراي سطوح و حالات انرژي شناخته شده است كه حاصل از معادله‌ي مستقل از زمان شرودينگر مي‌باشد:

$H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots$

به منظور وضوح بيشتر فرض مي‌نمائيم كه انرژي‌ها گسسته مي باشند. بالاوند (o) نشان مي‌دهد كه اين كيمت‌ها همراه با سيستم آشفته مي‌باشند. به استفاده براكت توجه نمائيد. حال ما يك اختلال در هاميلتون ايجاد مي‌نمائيم. اجازه دهيد v هاميلتوني باشد كه نشان دهنده‌ي اختلال فيزيكي ضعيف است، مانند انرژي پتانسيل ايجاد شده توسط ميدان خارجي(بنابراين v يك عامل هرميتي است). پارامتر بدون بعد است كه مقادير را متعهد مي‌شود كه از 0 تا 1 متغير هستند. هاميلتون آشفته به اين صورت مي‌باشد:

$H = H_0 + \lambda V$

سطوح انرژي و حالات انرژي هاميلتون آشفته با معادله‌ي شرودينگر ارائه شده است:

$\left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang .$

هدف ما بيان$E_n$ و $|n\rang$بر حسب سطوح و حالات انرژي هاميلتون پيشين مي‌باشد. اگر آشفتگي ضعيف باشد، مي‌توان آنها را بصورت زنجيره‌هاي نيرو و بدين صورت نوشت:

$E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots$

$|n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots$

$E_n^{(k)} = \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k}$

$|n^{(k)}\rang = \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}.$

زمانيكه λ = 0 باشد، اين مقدار غيرآشفته كاهش مي‌يابد كه اولين مقدار در هر مجموعه تلقي مي‌شوند. از آنجا كه آشفتگي ضعيف مي‌باشد، سطوح و حالات انرژي از مقادير غيآشفته نشان منحرف شوند و با سوق به سمت مراتب بالاتر اين مقادير كوچكتر مي‌شوند. با اتصال مجموعه‌هاي نيرو به معادله‌ي شرودينگر، خواهيم داشت:

$\begin{matrix} \left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\ \qquad\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \end{matrix}$

بسط اين معادله و مقايسه ضرايب هر يك از توان‌هاي λ موجب بدست آمدن مجموعه‌هاي نامحدود از معادلات همزمان مي‌گردد. معادله‌ي مرتبه صفر معادله‌ي شرودينگر در سيستم آشفاه مي‌باشد. معادله‌ي مرتبه اول بدين صورت مي‌باشد:

$H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang$

اولين عبارت در سمت چپ با عبارت موجود در سمت راست كنسل مي‌شود.(به ياد داشته باشيد كه هاميلتون غيرآشفته هرميتي مي‌باشد). اني امر منجر به تغيير انرژي مرتبه اول مي‌گردد

$H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang$

اين امر پيش‌بيني مقدار هاميلتون اختلالي است كه سيستم در حالت غيرآشفته مي‌باشد.

منابع

• امیر آقامحمدی. اختلال. . گاما، ش. ۴ (پاییز ۱۳۸۳): صفحهٔ ۳۹.