معادله دیفرانسیل خطی

در ریاضیات، یک معادله دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیلی است که به صورت تساوی یک تابع دلخواه با یک چند جمله ای خطی (درجه یک) از تابع مجهول ($y$) و مشتق‌های آن تعریف می‌شود. به عبارت ساده‌تر دیگر این معادلات را می‌توان به فرم زیر نمایش داد:

$a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=b$

که در آن $b(x)$ و $a_{i}(x)$ها توابعی دلخواه و مشتق پذیر برحسب $x$ هستند (که برای کوتاهی به نوشتن $a_{i}$ بسنده کردیم). این توابع لزواماً خطی نیستند. همچنین $y^{(i)}$ها نیز مشتق‌های مرتبهٔ $i$ تابع مجهول $y(x)$ نسبت به متغیّر $x$ هستند.

فرم بیان‌شده یک معادله دیفرانسیل معمولی است. اگر تابع مجهول به چندین متغیر بستگی داشته باشد، مشتق‌های آن جزئی و معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل با مشتق‌های جزئی می‌شود. در این مقاله فقط معادلات دیفرانسیل معمولی مورد نظر است.

معادلهٔ همگن متناظر با یک معادله، معادله‌ای است مشابه معادلهٔ اصلی که $b(x)=0$ باشد: $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$

اگر یک معادله دیفرانسیل خطی یا دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی به گونه ای باشد که معادلهٔ همگن متناظرش دارای ضرایب ثابت باشد، می‌توان جوابش را با انتگرال بیان کرد. این موضوع در مورد معادله دیفرانسیل خطی مرتبه یک با ضرایب دلخواه (غیر ثابت) نیز صدق می‌کند. در ادامه به تحلیل این دو گروه می‌پردازیم. به‌طور کلی جواب بقیهٔ معادلات دیفرانسیل خطی را نمی‌توان با با انتگرال بیان کرد.

جواب معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب چند جمله ای توابع هولونومیک نامیده می‌شوند. این توابع در روش‌های حل عددی این معادلات کاربرد بسیاری دارند. جمع، ضرب، مشتق و پاد مشتق این توابع نیز هولونومیک هستند. توابع خاص (از جمله توابع نمایی، لگاریتمی، مثلّثاتی و معکوسشان و توابع هذلولوی) و اکثر توابع معمول دیگر مانند تابع خطا، توابع بسل همگی توابع هولونومیک محسوب می‌شوند. نمایش آنها با تعریف معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه امکان ساخت الگوریتمی (بر روی این توابع) برای بیشتر عملگرهای حساب از قبیل محاسبه پاد مشتق، حدها، بسط مجانبی و ارزیابی عددی با هرگونه دقت، با خطای معتبر را فراهم می‌کند.

مرتبه اول

معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل خطّی (به انگلیسی: first-order linear differential equation) معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نمایش داد:

$y\prime +p(t)y=g(t)$

به عنوان مثال $ty\prime =t^{2}+3y$ یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل خطّی است زیرا می‌توان آن را به صورت فرم استاندارد $y\prime +{-3 \over t}y=t$ نمایش داد ($p={-3 \over t}$ و $g=t$).

یکی از فرم‌های کاربردی دیگر نمایش این معادلات به صورت زیر است:

$P(t)y\prime +Q(t)y=G(t)$

$P(t)\neq 0,\ \ Q(t)=p(t)P(t),\ \ G(t)=g(t)P(t)$

قضیهٔ وجود و یکتایی

اگر $\operatorname {D} _{p}$ به معنی بازهٔ بازِ دامنهٔ $p$ باشد، معادلهٔ $y\prime +p(t)y=g(t)$ در بازهٔ $\operatorname {D} _{p}\cap \operatorname {D} _{g}$ جواب یکتا دارد.

پیدا کردن جواب

در صورتی که $p$ برابر صفر باشد، جواب معادله به سادگی به دست می‌آید: $y\prime =g\Longrightarrow y=\int g$

عامل انتگرال‌ساز

در مواردی که $p$ ناصفر باشد، از یک ترفند استفاده می‌کنیم. در این ترفند دو طرف معادله را در یک عامل انتگرال‌ساز (به انگلیسی: integrating factor) (مثل $\mu$) ضرب می‌کنیم تا در معادلهٔ جدید $p$ برابر صفر شود.

می‌خواهیم با ضرب کردن تابع $\mu$ به هر دو طرف تساوی ضریب $y$ صفر شود تا بتوان جواب معادله را به دست آورد:

${\begin{aligned}{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}+py&=g\\\Longrightarrow \mu {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}+\mu py&=\mu g\\\Longrightarrow {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}(\mu y)&=\mu g\\\Longrightarrow \mu y&=\int _{t_{0}}^{t}\mu (s)g(s)\operatorname {d} \!s+c\\\Longrightarrow y&={\color {red}{{1 \over \mu }(\int _{t_{0}}^{t}\mu g\operatorname {d} \!s+c)}}\\\end{aligned}}$

برای این که چنین چیزی ممکن باشد باید «خط ۲ به ۳» در بالا درست باشد:

$\mu {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}+\mu py={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}(\mu y)$

طبق قاعدهٔ ضرب، عامل انتگرال‌ساز تنها وقتی در شرط بالا صدق می‌کند که $\mu \prime =p\mu$:

${\begin{aligned}{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}(\mu y)&=\mu {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}+y{\operatorname {d} \!\mu \over \operatorname {d} \!t}\\\Longrightarrow {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}(\mu y)&=\mu {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}+\mu py\\\end{aligned}}$

با کمک گرفتن از تساوی $\mu \prime =p\mu$ می‌توان عامل انتگرال‌ساز را به دست آورد:

${\begin{aligned}\mu \prime &=p\mu \\\Longrightarrow {\mu \prime \over \mu }&=p\\\Longrightarrow \int {\mu \prime \over \mu }\operatorname {d} \!t&=\int p\operatorname {d} \!t+c\\\Longrightarrow \ln \left\vert \mu \right\vert &=\int p\operatorname {d} \!t+c\\\Longrightarrow \mu &={\color {red}{e^{\int p\operatorname {d} \!t+c}}}\\\end{aligned}}$

عملگر دیفرانسیل خطی

مقالهٔ اصلی: عملگر دیفرانسیلی

عملگر (یا اپراتور) تبدیلی است که هر تابع را به تابعی دیگر نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، عملگر دیفرانسیلی پایهٔ $\operatorname {D}$ تابعی مانند $f$ را به مشتق آن تابع تبدیل می‌کند: $\operatorname {D} [f](x)=f'(x)={\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}$

به همین ترتیب می‌توان عملگر ساده دیفرانسیلی مرتبه $k$ را تعریف کرد: $\operatorname {D} ^{k}[f](x)=\operatorname {D} [\operatorname {D} ^{k-1}[f]](x)=f^{(k)}(x)={\operatorname {d} ^{k}\!y \over \operatorname {d} \!x^{k}}$

کاربرد این اپراتورها در ساده و کوتاهتر کردن محاسبات ریاضی است. این مفهوم قابل تعمیم به توابع چندمتغیره و مشتقات جزئی است. طبق یک تعریف قراردادی، $\operatorname {D} ^{0}[f](x)=\operatorname {I} [f](x)=f(x)$ است که $\operatorname {I}$ در این جا نماد اپراتور همانی است. همچنین وارون این اپراتور پادمشتق $f$ را برمی‌گرداند: $\operatorname {D} ^{-1}[f](x)=\int f(x)\operatorname {d} \!x$

اگر عملگری مانند $L$ یک نگاشت خطی باشد، آن را یک عملگر خطی می‌نامیم. طبق قضایای مربوط به مشتق و انتگرال در حسابان، عملگر $\operatorname {D} ^{k}$ (از هر مرتبه‌ای) خطی است. به عبارتی دیگر $\operatorname {D} ^{k}[af+bg]=a\operatorname {D} ^{k}[f]+b\operatorname {D} ^{k}[g]$.

یک عملگر دیفرانسیل خطی مانند $L$ ترکیبی خطی از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با ضرایب $a_{i}(x)$ به صورت توابعی مشتق‌پذیر. در نتیجه، چنین عملگری یک نگاشت خطی خواهد بود. در حالت تک متغیره، یک عملگر خطی از مرتبهٔ $n$ فرمی بدین ترتیب را دارد.

$L[y](x)=a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=a_{0}\operatorname {D} ^{0}[y]+a_{1}\operatorname {D} ^{1}[y]+\cdots +a_{n}\operatorname {D} ^{n}[y]$

حال پس از تعریف این اپراتور می‌توان یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$ را به صورت ساده‌شدهٔ زیر نوشت:

$L[y]=b$

هستهٔ یک عملگر خطی مجموعه جواب‌های معادلهٔ همگن $L[y]=0$ است.

همگن

با معادله دیفرانسیل § مرتبه اول همگن اشتباه نشود.

یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک معادله دیفرانسیل خطی همگن است (به انگلیسی: homogeneous linear differential equation):

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=0$

اصل برهم نهی

همچنین ببینید: اصل برهم‌نهی

اصل برهم‌نهی (به انگلیسی: Principle of Superposition) در معادلات دیفرانسیل همگن بیان می‌کند که اگر $y_{1}$ و $y_{2}$ دو جواب یک معادلهٔ همگن باشند، هرگونه ترکیب خطّی آنها (یعنی $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ به ازای اعداد حقیقی $c_{1},\ c_{2}$ دلخواه) نیز جواب آن معادله خواهد بود.

مجموعه اساسی جواب‌ها

همچنین ببینید: استقلال خطی § برای توابع

مجموعه جواب اساسی یک معادلهٔ همگن (به انگلیسی: fundamental set of solutions) یکتا نیست.

هر مجموعه‌ای مانند $Y=\{y_{1}(x),\cdots ,y_{n}(x)\}$ (با $n$ عضو منحصر به فرد) را مجموعه جواب اساسی یک معادلهٔ همگن از مرتبهٔ $n$ می‌نامیم اگر توابع عضو آن ($y_{i}$ها) مستقل خطی باشند. هر معادلهٔ همگنی مجموعه جواب اساسی دارد.

اگر $Y$ مجموعه جواب اساسی باشد، به کمک اصل برهم‌نهی نتیجه می‌گیریم که جواب کلّی معادله به صورت $y=c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}$ است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی $c_{i}$). این مجموعه تمام جواب‌های ممکن معادله را پوشش می‌دهد.

همگن با ضرایب ثابت

در صورتی که $a_{i}$ ها اعداد ثابت حقیقی (یا مختلط) باشند به آن معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت می‌گوییم.

حل این معادلات به صورت زیر است:

یکی از جواب‌های ممکن می‌تواند به فرم $y=e^{rx}$ باشد ($r$ یک عدد مختلط است). با جایگذاری در معادله نتیجه می‌گیریم:

$(a_{0}+a_{1}r+a_{2}r^{2}+\cdots +a_{n}r^{n})e^{rx}=0$

از آن جایی که تابع نمایی همواره ناصفر است، نتیجه می‌گیریم که $a_{0}+a_{1}r+a_{2}r^{2}+\cdots +a_{n}r^{n}=0$.

این معادله معادلهٔ مشخّصه (به انگلیسی: characteristic equation) نام دارد. فرض می‌کنیم که ریشه‌های این معادله $r_{1},\ r_{2},\cdots ,\ r_{n}$ باشند.

در نتیجه $y_{i}=e^{r_{i}x}$ مجموعه جواب اساسی معادله را تشکیل می‌دهند. در صورت وجود ریشه‌های مضاعف (مثلاً $r_{1}=r_{2}=r_{3}$) جواب‌های دیگر معادله (به جز $y_{1}=e^{r_{1}x}$) به صورت $y_{2}=xe^{r_{2}x}$ و $y_{3}=x^{2}e^{r_{3}x}$ خواهد بود. در حالت کلّی اگر $k$ تا از ریشه‌های معادلهٔ مشخّصه برابر $r_{m}$ باشند، $k$ تا از جواب‌های معادلهٔ همگن به صورت $x^{j}e^{r_{m}x}$ خواهند بود ($0\leq j<k$).

با جایگذاری این جواب‌ها در معادله $a_{0}y_{i}+a_{1}y_{i}'+\cdots +a_{n}y_{i}^{(n)}=0$ به درستی آن‌ها پی می‌بریم. پس جواب کلّی معادله به صورت $y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}y_{i}$ است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی $c_{i}$).

به عنوان مثال، برای حل معادلهٔ $y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$ معادلهٔ مشخصهٔ متناظرش را به دست می‌آوریم: $r^{4}-2r^{3}+2r^{2}-2r+1=0$ریشه‌های این معادله $i,-i,1,1$ هستند (۱ ریشهٔ مضاعف است). در نتیجه مجموعه جواب اساسی معادله $\{e^{ix},\ e^{-ix},\ e^{x},\ xe^{x}\}$ است و جواب کلّی معادله (با استفاده از فرمول اویلر) به صورت زیر به دست می‌آید: $y=c_{1}\cos x+\ c_{2}\sin x+\ c_{3}e^{x}+\ c_{4}xe^{x}$

کوشی-اویلر

مقالهٔ اصلی: معادله کوشی-اویلر

معادلهٔ اویلر (به انگلیسی: Cauchy-Euler equation) نوعی از معادلات خطی همگن است که ضرایب آن به صورت $a_{i}(x)=b_{i}x^{i}$ باشد. به عنوان مثال $x^{2}y''+\alpha xy'+\beta y=0$ یک معادلهٔ اویلر مرتبه دو است.

برای حل این معادلات کافی است از تغییر متغیّر $u=\ln x$ استفاده کرد تا آن را به یک معادلهٔ همگن با ضرایب ثابت تبدیل کرد. در مثال مذکور، معادله‌ٔ $x^{2}{\operatorname {d} ^{2}\!y \over \operatorname {d} \!x^{2}}+\alpha x{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}+\beta y=0$ به فرم جدید ${\operatorname {d} ^{2}\!y \over \operatorname {d} \!u^{2}}+(\alpha -1){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!u}+\beta y=0$ تبدیل می‌شود.

همگن مرتبه دوم

یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم خطّی همگن معادله‌ای است که بتوان آن را به فرم استاندارد $y''+p(t)y'+q(t)y=0$ نمایش داد.

فرمول آبل

اگر $y_{1}$ و $y_{2}$ دو جواب معادلهٔ $y''+p(t)y'+q(t)y=0$ باشند $W[y_{1},y_{2}]=ce^{-\int p(t)\operatorname {d} \!t}$.

در این جا $W[y_{1},y_{2}]$ تابع رونسکیَن است که (طبق تعریف) از رابطهٔ $W[y_{1},y_{2}]=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}$ به دست می‌آید.

کاهش مرتبه

در بعضی مواقع یکی از جواب‌های معادله (مثلاً $y_{1}$) به سادگی به دست می‌آید ولی جواب دوم نامعلوم است.

به عنوان مثال برای معادلهٔ $ty''-y'+(1-t)y=0$ که به فرم $P(t)y''+Q(t)y'+R(t)y=0$ نوشته شده، می‌دانیم که مجموع ضرایب $P(t)+Q(t)+R(t)$ برابر صفر اند. از این موضوع به راحتی حدس می‌زنیم که $y_{1}=e^{t}$.

در صورتی که یکی از جواب‌های معادله (مثلاً $y_{1}$) را بدانیم، میتوان از شگرد کاهش مرتبه برای به دست آوردن جواب کلّی استفاده کرد. این روش را با یک مثال توضیح می‌دهیم:

در صورتی که بدانیم $y_{1}=t^{-1}$ یکی از جوابهای معادلهٔ $2t^{2}y''+3ty'-y=0$ است، فرض می‌کنیم که جواب کلّی معادله برابر $y=v(t)y_{1}(t)$ است و سعی می‌کنیم تا تابع $v(t)$ را به دست آوریم. ${\begin{aligned}y&=vy_{1}=vt^{-1}\\\Longrightarrow y'&=v't^{-1}-vt^{-2}\\\Longrightarrow y''&=v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3}\end{aligned}}$ پس ${\begin{aligned}2t^{2}y''+3ty'-y&=0\\\Longrightarrow 2t^{2}(v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3})+3t(v't^{-1}-vt^{-2})-(vt^{-1})&=0\\\Longrightarrow 2tv''-v'&=0\\{\overset {Euler-Cauchy}{\Longrightarrow }}v=c_{2}t^{3 \over 2}+c_{1}\end{aligned}}$ در نتیجه $y=vy_{1}=c_{1}t^{-1}+c_{2}t^{1 \over 2}$

در حالت کلّی ($y''+p(t)y'+q(t)y=0$) پس از ساده‌سازی به معادله $y_{1}v''+(2y_{1}'+py_{1})v'=0$ می‌رسیم.

کاهش مرتبه به کمک قضیه آبل

همچنین می‌توان از فرمول آبل نیز برای کاهش مرتبه استفاده کرد. برای این کار، تعریف رونسکین و فرمول آبل را مقابل هم قرار می‌‌دهیم.

در مثال قبلی، فرم استاندارد معادله $y''+{3 \over 2}t^{-1}y'-{1 \over 2}t^{-2}y=0$ است (پس $p={3 \over 2}t^{-1}$). طبق تعریف رونسکین: $W[y_{1},y_{2}]=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W[t^{-1},y_{2}]=t^{-1}y_{2}'+t^{-2}y_{2}$ طبق فرمول آبل: $W[y_{1},y_{2}]=ce^{-\int p(t)\operatorname {d} \!t}=ce^{-{3 \over 2}\ln t}=ct^{-{3 \over 2}}$ پس $W[y_{1},y_{2}]=t^{-1}y_{2}'+t^{-2}y_{2}=ct^{-{3 \over 2}}\Longrightarrow y_{2}'+t^{-1}y_{2}=ct^{-{1 \over 2}}\$ حال می‌توان این معادلهٔ خطی مرتبه اوّل را حل کرد تا به جواب رسید.

ناهمگن

اگر $y$ جواب کلّی معادلهٔ $L[y]=g$ و $y_{c}$ جواب معادلهٔ همگن $L[y]=0$ باشد، با توجّه به خطّی بود $L$ می‌دانیم $L[y+y_{c}]=L[y]+L[y_{c}]=g+0=g$. پس $y+y_{c}$ نیز جواب کلّی معادلهٔ $L[y]=g$ است. در نتیجه $y$ در درون خود $y_{c}$ را نیز شامل می‌شود. به عبارتی دیگر:

$\color {red}y=y_{c}+y_{p}$

که $y_{p}$ جواب $L[y]=g$ است. برای پیدا کردن جواب کلّی معادلهٔ $L[y]=g$ باید جواب معادلات $L[y_{c}]=0$ و $L[y_{p}]=g$ را پیدا و جمع کنیم.

به جواب $L[y_{c}]=0$ جواب مکمّل یا جواب عمومی (به انگلیسی: complementary solution) می‌گویند.

به جواب $L[y_{p}]=g$ جواب خاص یا جواب خصوصی یا جواب ویژه (به انگلیسی: particular solution) می‌گویند.

با فرض این که $g$ و $f$ دو تابع دلخواه باشند، جواب مکمّل $L[y]=g$ و $L[y]=f$ یکسان خواهد بود ولی جواب خاصشان متفاوت. دلیل این نامگذاری نیز همین است.

می‌دانیم اگر ضرایب معادلهٔ همگن $L[y_{c}]=0$ ثابت باشند چطور آن را حل کنیم. در غیر این صورت پیدا کردن جواب بسیار سخت خواهد بود.

برای پیدا کردن جواب خاص، دو روش معمول «ضرایب نامعیّن» و «تغییر پارامتر» وجود دارد. استفاده از روش ضرایب نامعیّن معمولاً ساده‌تر است ولی فقط در موارد خاصی می‌توان از آن استفاده کرد.

روش ضرایب نامعین

این روش (به انگلیسی: method of undetermined coefficients) برای پیدا کردن جواب خصوصی $L[y_{p}]=g$ استفاده می‌شود. در این روش فرم کلّی جواب را داریم و فقط باید ضرایب را تشخیص دهیم:

• اگر $g$ به فرم $g=e^{\alpha t}$ باشد، $y_{p}$ به فرم $y_{p}=ce^{\alpha t}$ خواهد بود.
• اگر $g=\cos(\beta t)$ یا $g=\sin(\beta t)$ باشد، $y_{p}=a\cos(\beta t)+b\sin(\beta t)$ خواهد بود.
• اگر $g=c_{n}t^{n}+\cdots +c_{2}t^{2}+c_{1}t+c_{0}$ باشد، $y_{p}=a_{n}t^{n}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}$ خواهد بود.

یک استثنا زمانی پیش می‌آید که فرم پیشنهادی $y_{p}$ مشابه یکی از جواب‌های عمومی باشد (به عبارتی دیگر، عضو هستهٔ $L$ باشد). در این صورت فرم پیشنهادی را در $t$ ضرب می‌کنیم.

به عنوان مثال، در معادلهٔ $y''-3y'-4y=e^{-t}$ جواب مکمّل برابر $y_{c}=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{4t}$ است. پس فرم پیشنهادی جواب خاص $y_{p}=c{\color {red}t}e^{-t}$ می‌شود. ${\begin{aligned}y_{p}''-3y_{p}'-4y_{p}&=e^{-t}\Longrightarrow y_{p}=cte^{-t}\\\Longrightarrow (cte^{-t})''-3(cte^{-t})'-4(cte^{-t})&=e^{-t}\\\Longrightarrow (c(t-2)e^{-t})-3(c(1-t)e^{-t})'-4(cte^{-t})&=e^{-t}\\\Longrightarrow -5ce^{-t}&=e^{-t}\\\Longrightarrow c={-1 \over 5}\Longrightarrow y_{p}=-{1 \over 5}te^{-t}\end{aligned}}$

در حالت کلّی‌تر اگر $g=(c_{n}t^{n}+\cdots +c_{2}t^{2}+c_{1}t+c_{0})e^{\alpha t}\cos(\beta t)$ یا $g=(c_{n}t^{n}+\cdots +c_{2}t^{2}+c_{1}t+c_{0})e^{\alpha t}\sin(\beta t)$ باشد، فرم $y_{p}$ به صورت زیر خواهد بود:

$\color {red}y_{p}=(a_{n}t^{n}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0})e^{\alpha t}\cos(\beta t)+(b_{n}t^{n}+\cdots +b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0})e^{\alpha t}\sin(\beta t)$

به عنوان مثال، در معادلهٔ $y''-3y'-4y=te^{t}$ فرم $g=(1t+0)e^{1t}\cos(0t)$ است. پس $y_{p}=(a_{1}t+a_{0})e^{1t}\cos(0t)+(b_{1}t+b_{0})e^{1t}\sin(0t)=(a_{1}t+a_{0})e^{t}$ در نتیجه ${\begin{aligned}y_{p}''-3y_{p}'-4y_{p}&=te^{t}\\\Longrightarrow ((a_{1}t+a_{0})e^{t})''-3((a_{1}t+a_{0})e^{t})'-4((a_{1}t+a_{0})e^{t})&=te^{t}\\\Longrightarrow ((a_{1}t+a_{0}+2a_{1})e^{t})-3((a_{1}t+a_{0}+a_{1})e^{t})-4((a_{1}t+a_{0})e^{t})&=te^{t}\\\Longrightarrow -6a_{1}te^{t}-(a_{1}+6a_{0})e^{t}&=te^{t}\\\Longrightarrow -6a_{1}=1,\ a_{1}+6a_{0}=0\\\Longrightarrow a_{1}={-1 \over 6},a_{0}={1 \over 36}\\\Longrightarrow y_{p}=(-{1 \over 6}t+{1 \over 36})e^{t}\end{aligned}}$

اگر $g$ حاصل جمع (یا تفریق) موارد بالا باشد، (با توجّه به خطّی بودن $L$) می‌توان $g$ را تقسیم کرد.

به عنوان مثال، در معادلهٔ $y''-3y'-4y=e^{-t}+te^{t}$ می‌گوییم $g_{1}=e^{-t}$ و $g_{2}=te^{t}$: $g=g_{1}+g_{2}=L[y_{p_{1}}]+L[y_{p_{2}}]=L[y_{p_{1}}+y_{p_{2}}]$ سپس از دو مثال پیش نتیجه می‌گیریم: $y=y_{c}+y_{p_{1}}+y_{p_{2}}=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{4t}-{1 \over 5}te^{-t}+(-{1 \over 6}t+{1 \over 36})e^{t}$

در صورتی که $g$ به فرم موارد بالا یا جمع (یا تفریق) آنها نباشد نمی‌توان از این روش استفاده کرد.

روش تغییر پارامتر

این روش (به انگلیسی: method of variation of parameters) برای پیدا کردن جواب خصوصی $L[y_{p}]=g$ استفاده می‌شود. در حالی که استفاده از روش ضرایب نامعیّن ساده‌تر بود، این روش کلّی‌تر است و در مورد $g$ محدودیّتی ندارد. ایدهٔ کلّی این روش مشابه کاهش مرتبه است.

در صورتی که جواب عمومی را به فرم $y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ به دست بیاوریم، جواب کلّی را به فرم $y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}$ فرض می‌کنیم و سعی می‌کنیم تا $u_{1}$ و $u_{2}$ را پیدا کنیم.

همان طور که در ادامه نیز می‌بینیم، توابع $u_{1}$ و $u_{2}$ لزوماً یکتا نخواهند بود. البتّه جواب کلّی همیشه یکتا است. به عبارتی دیگر ممکن است $u_{1}$ و $u_{2}$ و همچنین $v_{1}$ و $v_{2}$ پیدا شوند که $y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}$. توجّه داشته باشید که هدف ما پیدا کردن جواب کلّی معادله است و نیازی به پیدا کرد تمام $u_{1}$ و $u_{2}$های ممکن نداریم. به عبارتی دیگر تنها نیاز داریم یک $u_{1}$ و $u_{2}$ خاص پیدا کنیم که ما را به جواب برسانند.

در صورتی که جواب کلّی را به فرم $y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}$ فرض کنیم، این $y$ باید در معادلهٔ $L[y]=g$ صدق کند. پس برای پیدا کردن $u_{1}$ و $u_{2}$ از این معادله کمک می‌گیریم. در این جا یک معادله و دو مجهول داریم. همچنین طبق تعریف، $y_{1}$ و $y_{2}$ از یکدیگر مستقل اند. از این دو مورد نتیجه می‌گیریم که بی‌نهایت جواب متفاوت برای $u_{1}$ و $u_{2}$ وجود دارد.

همان طور که پیش‌تر به آن اشاره شد، ما تنها به یک $u_{1}$ و $u_{2}$ خاص نیاز داریم تا ما را به جواب برسانند. پیدا کردن تمام $u_{1}$ و $u_{2}$ها در حالت کلّی سخت تر است. پس می‌توانیم یک معادلهٔ دیگر از خودمان در بیاوریم تا کار خود را ساده‌تر کنیم:

$u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0$

این معادله محاسبات ما را در ادامه ساده‌تر خواهد کرد. از $y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}$ مقدار $y'$ را به دست می‌آوریم:

$y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}\Longrightarrow y'=(u_{1}'y_{1}+u_{1}y_{1}')+(u_{2}'y_{2}+u_{2}y_{2}')$

حال از معادلهٔ ابداعی خودمان نتیجه می‌گیریم:

$y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'$

و از این تساوی مقدار $y''$ را نیز به دست می‌آوریم:

$y''=(u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}'')+(u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}'')$

حال مقادیر $y$ و $y'$ و $y''$ را در فرم استاندارد معادله $L[y]=g$ جایگذاری می‌کنیم:

${\begin{aligned}&y''&+&py'&+&qy&=g\\\Longrightarrow &u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''&+&p(u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}')&+&q(u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2})&=g\end{aligned}}$

پس

${\begin{aligned}&u_{1}(y_{1}''+py_{1}'+qy_{1})\\+&u_{2}(y_{2}''+py_{2}'+qy_{2})\\&\quad +u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'\quad =g\end{aligned}}$

طبق تعریف جواب عمومی، دو عبارت داخل پرانتز برابر صفر هستند. در نتیجه به معادلهٔ زیر می‌رسیم:

$u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g$

از این معادله و معادلهٔ ابداعی می‌‌توان $u_{1}$ و $u_{2}$ را به کمک قاعدهٔ کرامر به دست آورد:

$u_{1}'=-{y_{2}g \over W[y_{1},y_{2}]},\quad u_{2}'={y_{1}g \over W[y_{1},y_{2}]}$

در نتیجه جواب خصوصی به صورت زیر به دست می‌آید:

$\color {red}y_{p}=y_{2}\int {y_{1}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s-y_{1}\int {y_{2}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s$

و جواب کلّی نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$y=y_{p}+y_{c}=y_{2}(\int {y_{1}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s+c_{2})-y_{1}(\int {y_{2}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s+c_{1})$

به عنوان مثال، در معادلهٔ $y''+4y=8\tan(t)$، ابتدا جواب عمومی را به روش حل معادلات همگن با ضرایب ثابت به دست می‌آوریم: $y_{c}=c_{1}\cos(2t)+c_{2}\sin(2t)$ همچنین مقدار رونسکین طبق تعریف برابر ۲ به دست می‌آید. حال به کمک فرمول به دست آمده (قرمز) جواب کلّی را به دست می‌آوریم:$y=y_{p}+y_{c}=\sin(2t)(\int {8\cos(2t)\tan(t) \over 2}\operatorname {d} \!s+c_{2})-\cos(2t)(\int {8\sin(2t)\tan(t) \over 2}\operatorname {d} \!s+c_{1})$با حل انتگرال‌ها و ساده‌سازی به جواب می‌رسیم: $y=c_{1}\cos(2t)+c_{2}\sin(2t)+4\ln(\cos(t))-4t\cos(2t)-2\sin(2t)$

به همین روش می‌توان این معادلات را در حالت کلّی (مرتبهٔ $n$) حل کرد. جواب نهایی به این صورت به دست می‌آید:

$y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}(\int {gW_{i} \over W}\operatorname {d} \!s+c_{2})$

در این جا $W=W[y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}]$ و $W_{i}$ نیز مشابه رونسکین به دست می‌آید با این تفاوت که به جای ستون $i$ ام $(0,0,\cdots ,1)$ قرار گیرد. برای پیدا کرد ساده‌تر مقدار $W$ می‌توان از فرمول آبل نیز کمک گرفت: $W=ce^{-\int p(t)\operatorname {d} \!t}$

سیستم معادلات دیفرانسیل خطی

سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد.

${\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\\vdots &\\y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}$

مراتب بالاتر با ضرایب متغیر

غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با قضیه آبل-رافینی به دست آورد، که بیان می‌کند معادله جبری درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای تئوری گالوی دیفرانسیل فراهم می‌کند.

مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش کوادراتور حل کرد. با این حال محاسبات لازم حتی با قدرتمندترین رایانه‌ها بسیار دشوار است. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم.

معادلات اویلر-کوچی نمونه‌هایی از معادلات از هر درجه، با ضرایب متغیر است که به روش صریح قابل حل است.

توابع هولونومیک

یک تابع هولونومیک، که تابع محدود دی نیز نامیده می‌شود تابعی است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید.

اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.

جستارهای وابسته

• معادله دیفرانسیل برنولی
• تبدیل فوریه
• تبدیل لاپلاس

منابع

• Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4 Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
• Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0 Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

پیوند به بیرون

• http://eqworld.ipmnet.ru/fa/solutions/ode.htm
• دیکشنری پویا از تابع ریاضی. مطالعه خودکار و تعاملی بسیاری از توابع هولونومیک.