دترمینان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

دترمینان، در جبر خطی به تابعی گفته می‌شود که هر ماتریس مربعی را (به عبارتی هر ماتریس n\times n را) به یک عدد نسبت می‌دهد. دترمینان بیشتر برای تعیین، معکوس ماتریسها استفاده می‌شود، به طوری که اگر دترمینان ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه آن ماتریس معکوس‌پذیر است. از این رو از طریق دترمینان می‌توان مقادیر ویژه یک ماتریس و یا به عبارت بهتر یک نگاشت خطی را تعیین کرد. مثال دیگر، این توابع، دترمینان ژاکوبی است که در روش تغییر متغیر برای انتگرالهای چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

تعریف[ویرایش]

اگر A یک ماتریس مربعی n-بعدی با اعضای A_{i,j} (i,j \in \{1,\cdots, n\}) باشد، آنگاه دترمینان این ماتریس به صورت زیر نوشته می‌شود (نامیده شده به لایبنیتز):

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}

در اینجا S_n، مجموعهً تمام جابه‌جایی‌های (permutations) ممکن بین اعداد \{1,\cdots, n\} است و \sgn(\sigma) تابعی است که مقدار آن برابر ۱برای جابه‌جایی‌های (\sigma) زوج و برابر -1 برای جابه‌جایی‌های فرد است. در اینجا منظور از زوج و فرد، تعداد تعویض‌های دوتایی می‌باشد، که جابه‌جاییِ \sigma از آنها ساخته شده است.

برخی از ویژگی‌ها[ویرایش]

  • اگر B ماتریس حاصل از جا به جایی دو سطر و یا دو ستون ماتریس A باشد آنگاه دترمینان B برابر قرینهٔ دترمینان A.
  • اگر ماتریس A دارای دو سطر یا دو ستون مساوی باشد دترمینان آن صفر است.
  • اگر ماتریس A دارای سطر یا ستونی با درایه‌های صفر باشد، دترمینان آن صفر است.
  • اگر ماتریس A یک ماتریس بالا مثلثی یا پایین مثلثی باشد، دترمینان آن برابرست با ضرب درایه‌های قطر اصلی.
  • اگر تمام درایه‌های ماتریس A بر عددی مانند K بخشپذیر باشد آنگاه K از دترمینان خارج می‌شود و در عدد دترمینان ضرب می‌شود.

مثال‌ها[ویرایش]

برای، دترمینان‌های یک‌بعدی، دو بعدی و سه بعدی به‌ترتیب داریم:

\det \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}  = a

\det \begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix} = ad - bc

\det \begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\end{bmatrix} = a(ei - hf) - b(di - gf) + c(dh - ge)

برای ماتریس‌های سه بعدی (۳×۳) از روش زیرین می‌توان استفاده کرد.

مثلاً برای پیدا کردن دترمینان ماتریس 3x3matrix.jpg

3x3determinan.jpg

Deter1.jpg

احتیاط: از این روش فقط برای ماتریس‌های سه بعدی استفاده می‌شود و از آن نمی‌توان برای ماتریس‌های بیش از سه بعدی استفاده کرد.

منابع[ویرایش]

  • Alan Tucker, ۱۹۸۸ : A Unified Introduction to Linear Algebra: Models, Methods and Theory , Macmillan Pub Co. ISBN 0-02-421580-5

پیوند به بیرون[ویرایش]