نظریه رده‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش شماتیک از یک دسته با اشیاء Xبا Yهای Z و مورفیزم‌های f, g, gf. (اگر صریح تر نمایش دهیم، سه مورفیزم همانی 1X, 1Y و 1Z از دسته مورد نظر نیز در کنار حروف X و Y و Z به ترتیب نمایش داده می‌شوند که هر کدام به عنوان «محور» اش یک قوس دایره‌ای به اندازه تقریباً ۳۶۰ درجه را خواهد داشت)

نظریه دسته‌ها (رده‌ها یا کاتگوری‌ها)[۱] ساختار ریاضی و مفاهیم آن را در غالب دسته‌هایی از اشیاء و فِلِش‌ها (همچنین مورفیزم گفته می‌شود) صوری سازی می‌کند. یک دسته دارای دو خاصیت پایه‌ای است: توانایی ترکیب فلش‌ها به صورت شرکت پذیر و وجود یک عنصر همانی برای هر شیء. زبان نظریه دسته‌ها جهت فُرمال سازی مفاهیم دارای سطحوح انتزاع مرتبه بالا، نظیر مجموعه‌ها، حلقه‌ها و گروه‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.

تعدادی از عبارت‌های مورد استفاده در نظریه رده‌ها، از جمله «مورفیزم» متفاوت از آنچه در باقی ریاضیات است استفاده می‌شوند. در نظریه دسته‌ها، مورفیزم‌ها از شرایط مختص خود نظریه دسته‌ها پیروی می‌کنند.

ساموئل آیلنبرگ و ساندرز مک لین مفاهیم کاتگوری، عملگر (فانکتور) و تبدیلات طبیعی را در ۱۹۴۲–۱۹۴۵ طی مطالعات خود در توپولوژی جبری با هدف درک فرآیندهایی که ساختار ریاضی را حفظ می‌کنند، و تحت تأثیر ایده‌های مرتبط قبلی ریاضیدانان لهستانی و آلمانی معرفی نمودند. تئوری دسته‌ها، دارای کاربردهایی عملی در نظریه زبان‌های برنامه‌نویسی، و به طور خاص جهت مطالعه مونادها در برنامه‌نویسی تابعی است.

مفاهیم اساسی[ویرایش]

کاتگوری‌ها، انتزاعی از دیگر مفاهیم ریاضی را نشان می‌دهند. دیگر مفاهیم ریاضی. بسیاری از زمینه‌های ریاضیات می‌تواند توسط نظریه دسته‌ها، به عنوان دسته فُرمال (صوری) شوند. از این رو دسته تئوری با استفاده از انتزاع این را ممکن می‌سازد که بسیاری از نتایج پیچیده و ظریف ریاضی در این زمینه‌ها را به نحوی بسیار ساده‌تر بیان و اثبات کرد.[۲]

یک مثال ابتدایی از یک کاتگوری، کاتگوری مجموعه‌هاست، که اشیاء آن مجموعه‌ها، و مورفیزم‌های آن توابع از یک مجموعه به مجموعه‌ای دیگر اند. اگرچه در حالت کلی، اشیاء یک کاتگوری، ضرورتی ندارد مجموعه باشند و مورفیزم‌ها نیز ضرورتی ندارد که تابع باشند. هر روشی از صوری سازی یک مفهوم ریاضی که شرایط ابتدایی حاکم بر اشیاء و مورفیزم‌ها را برآورده کند، یک کاتگوری مشروع است و تمامی نتایج نظریه دسته‌ها برای آن برقرار خواهد بود.

"مورفیزم"‌های نظریه دسته‌ها یا غالباً فرایندی را نشان می‌دهند که دو شیء را به هم متصل می‌کند، و یا در بسیاری از موارد، یک تبدیل "حافظ ساختار" را نشان می‌دهند که دو شیء را به هم وصل می‌کند. اگرچه، موارد بسیاری هست که مفاهیم بسیار انتزاعی تری را با مورفیزم‌ها و اشیاء نشان می‌دهند. مهم‌ترین خاصیت مورفیزم‌ها این است که می‌توانند "ترکیب" شوند، یا به عبارتی، در یک دنباله‌ای چیده شوند که مورفیزم جدیدی را بوجود بیاورند.

کاربردهای دسته‌ها[ویرایش]

عملگر (فانکتور)ها[ویرایش]

کاتگوری‌ها، اکنون در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، برخی از شاخه های علوم کامپیوتر نظری که در آنجا با نوع‌ها مطابق می‌شوند، و ریاضی فیزیک که در آن آنها می‌تواند برای توصیف فضاهای برداری مورد استفاده قرار گیرد، ظاهر می‌شوند.

ابزار[ویرایش]

دسته ها، اشیاء و مورفیزم‌ها[ویرایش]

مطالعه گاتگوری‌ها، تلاشی برای این است که آنچه در انواع مختلف ساختارهای ریاضی قابل دریافت است را توسط ارتباط دادن آنها با توابع ساختار-نگهدار بین آنها و به صورت اصل موضوعه‌ای نشان دهد. بنابر این، مطالعه نظام مند نظریه دسته‌ها، به ما این اجازه را می‌دهد که نتایجی کلی راجع به هریک از این ساختارهای ریاضیاتی را با استفاده از اصول موضوعه نظریه دسته‌ها به اثبات برسانیم.

یک دسته، خود یک نوع ساختار ریاضی است؛ بنابراین ما می‌توانیم «فرایند» هایی بگردیم که به معنایی، این ساختار را حفظ می‌کنند. چنین فرایندی، یک فانکتور نامیده می‌شود.

تبدیلات طبیعی[ویرایش]

با مجرد سازی دوباره، برخی ساختارهای نموداری و/یا ساختارهای دنباله‌ای اغلب «به طور طبیعی مرتبط اند» – یک مفهوم مبهم در نگاه اول. این مسئله، منجر به مفهوم روشنگر تحول طبیعی می‌گردد؛ راهی برای «تصویر کردن» یکی فانکتور به فانکتوری دیگر. بسیاری از ساختارهای مهم در ریاضیات را می‌توان در این بافت مورد مطالعه قرار. «طبیعی بودن» یک اصل، مانند هموردایی عام در فیزیک است که عمیق‌تر از آنچه در ابتدا به نظر می‌رسد به پیش می‌رود. یک فلش (مورفیزم) بین دو فانکتور، زمانی که بحث طبیعی بودن یا شرایط جا به جایی خاصی است، یک تحول طبیعی است.

فانکتورها و تحولات طبیعی ('طبیعی بودن') مفاهیم کلیدی در نظریه رده‌ها هستند.[۳]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]

  1. Awodey 2006
  2. Geroch, Robert (1985). Mathematical physics ([Repr.] ed.). Chicago: University of Chicago Press. p. 7. ISBN 0-226-28862-5. Note that theorem 3 is actually easier for categories in general than it is for the special case of sets. This phenomenon is by no means rare. 
  3. Mac Lane 1998, p. 18: "As Eilenberg-Mac Lane first observed, 'category' has been defined in order to be able to define 'functor' and 'functor' has been defined in order to be able to define 'natural transformation'."

پیوند به بیرون[ویرایش]