تبدیلات طبیعی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در نظریه دسته‌ها، شاخه‌ای از ریاضیات، یک تبدیل طبیعی راهی برای تبدیل یک فانکتور به یکی دیگر فراهم می‌کند در حالی که به ساختار داخلی (به عنوان مثال ترکیب پیکان‌ها) کاتگوری‌های درگیر، احترام می‌گذارد. از این رو یک تبدیل طبیعی می‌تواند به عنوان یک «پیکان از فانکتورها» تلقی شود. در واقع این شهود می‌تواند به جهت تعریف کاتگوری‌های فانکتورها صوری بندی شود. تبدیلات طبیعی، پس از کاتگوری‌ها و فانکتورها، یکی از اساسی‌ترین مفاهیم نظریه دسته‌ها هستند و در عمدهٔ کاربردهای آن، ظاهر می‌شوند.

تعریف[ویرایش]

اگر F و G فانکتورهایی بین دسته‌های C و D باشند، در آن صورت، یک تبدیل طبیعی η از F به G خانواده‌ای از پیکان هاست دو شرط را ارضاء می‌کند.

  1. تبدیل طبیعی باید به هر شیء X در C یک فِلِش ‏ηX: F(X) → G(X) ‎ بین اشیاء D نظیر کند. پیکانِ ηX، مولفه ن η در X نامیده می‌شود.
  2. مؤلفه‌ها باید به گونه‌ای باشد که برای هر پیکان f:X Y داشته باشیم:

معادلهٔ اخیر را می‌توان به راحتی با نمودار جابجایی زیر تبیین کرد:

Natural transformation.svg

اگر F و G پادهمگرد باشند، فلش‌های افقی در این نمودار، بر عکس می‌شوند. اگر η یک تبدیل طبیعی از F به G باشند، همچنین می‌توان نوشت η: FG یا η: FG. این را همچنین می‌توان اینطور بیان کرد که خانوادهٔ فِلِش‌های ‏ ηX: F(X) → G(X) ‎ در X طبیعی است.

اگر برای هر شئ X در C، پیکان ηX یک یکریختی باشد، هم شکل انگاری در D باشد، در آنصورت η را یک یکریختی طبیعی (یا گاهی هم‌ارزی طبیعی یا یکریختی فانکتورها) می‌گویند. دو فانکتور F و G را به طور طبیعی یکریخت یا به‌طور ساده‌تر، یکریخت گویند اگر یک یکریختی از F به G وجود داشته باشد.

یک تبدیل طبیعی η از F به G، عملاً یک خانواده ‏ ηX: F(X) → G(X) ‎ از پیکان هاست. بنابراین یک تبدیل طبیعی، یک تبدیل غیرطبیعی است که ηYF(f) = G(f) ∘ ηX برای هر پیکان f: XY. طبیعی ساز η، که با‏ nat(η) ‎ نشان می‌دهند، بزرگترین زیر-دسته از C شامل تمام اشیاء از C که η به یک تبدیل طبیعی تحدید می‌شود.

مثال[ویرایش]

دترمینان[ویرایش]

برای حلقه‌های جابجایی R و S با همریختی ‏ f: RS ‎، گروه‌های متناظر متشکل از ماتریس‌های n × n وارون پذیر ‏ GLn(R)‎ و ‏ GLn(S)‎، یک همریختی ‏ GLn(f)‎ را به ارث می‌برند که با استفاده از f به روی هر مولفه از ماتریس به دست می‌آیند. به طور مشابه، f به یک همریختی گروهی f*: R*S تحدید می شودکه در آن *R نشان دهنده گروه همانی‌های R است. در واقع ‏ GLn ‎ و * فانکتورهایی از CRing به Grp هستند. دترمینان روی گروه ‏ GLn(R)‎ را که با ‏ detR ‎ نشان می‌دهیم، یک همریختی گروهی از ‏ GLn(R)‎ به *R است. به علاوه با توجه به اینکه دترمینان روی تمام حلقه‌ها به طور یکسانی تعریف می‌شود، داریم: ‏ f* ∘ detR = detS ∘ GLn(f)‎. این نکته، باعث می‌شود که دترمینان، یک تبدیل طبیعی از ‏ GLn ‎ به * محسوب شود.

لم یوندا[ویرایش]

اگر X یک شی از یک کاتگوری موضعاَ گوچک C باشد، در آن صورت، تابع ‏ Y ↦ HomC(X, Y) ‎ یک فانکتور همگرد FX: CSet تعریف می‌کند. این فانکتور، نمایش پذیر خوانده می‌شود (به طور کلی یک فانکتور نمایش پذیر، هر فانکتوریست که برای X ای مناسب، به طوری طبیعی یکریخت با فانکتور فوق است). تبدیلات طبیعی از یک فانکتور نمایش پذیر به یک فانکتور دلخواه F: CSet، کاملاً قابل شناسایی و به سادگی توصیف پذیرند. این، محتوای لم یونداست.

یادداشت‌های تاریخی[ویرایش]

گفته شده کهساندرز مک لین، یکی از بنیانگذاران نظریهٔ دسته‌ها، گفته است: «من دسته‌ها را برای مطالعهٔ فانکتورها ابداع نکردم؛ آنها را برای مطالعه تبدیلات طبیعی ابداع نمودم.»[۱] همان‌طور مطالعهٔ گروه‌ها بدون مطالعهٔ همریختی‌ها کامل نیست، مطالعهٔ کاتگوری‌ها بدون مطالعهٔ فانکتورها ناکامل است. دلیل اظهار نظر مک لین این است که مطالعه فانکتورها، بدون مطالعهٔ تبدیلات طبیعی، به خودی خود کامل نیست.

پیش زمینهٔ سخن مک لین، نظریهٔ اصل موضوعه‌ای همولوژی‌ها بود. می‌توان نشان داد که روش‌های مختلف ساخت همولوژی، برهم منطبق اند: به عنوان مثال در مورد یک مجتمع سادکی (به انگلیسی: simplicial complex)، گروه‌هایی که مستقیماً تعریف شده‌اند، با آنهایی که از نظریهٔ تکین هستند، یکریخت خواهند بود. آنچه را که نمی‌توان بدون زبان تبدیلات طبیعی به راحتی تبیین کرد، این است که چگونه گروه‌های همولوژی با پیکان‌های بین اشیاء، سازگارند، و اینکه چطور دو تئوری همولوژی معادل، نه تنها گروه‌های همولوژی یکسانی دارند، بلکه مورفیزم‌های یکسانی بین آن گروه‌ها نیز دارند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. (Mac Lane 1998, §I.4)