مورفیزم (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات، مورفیزم (به انگلیسی: morphism) (یا فِلِش و یا پیکان) اشاره به یک نگاشت حافظِ ساختار از یک ساختار ریاضی به ساختاری دیگر دارد. مفهوم مورفیزم، در بیشتر ریاضیات معاصر به چشم می‌آید. پیکان‌ها در نظریه مجموعه ها، توابع؛ در جبر خطی، نگاشت‌های خطی؛ در نظریه گروه ها، همریختی‌های گروهی، و در توپولوژی، توابع پیوسته هستند و غیره.

در نظریه دسته‌ها، یک پیکان ایده‌ای بسیار مشابه است، اما تا حدودی مجرد تر: اشیاء ریاضی درگیر، لزومی نیست که مجموعه باشند و ارتباط بین آنها ممکن است چیزی عام تر از یک نگاشت باشد.

مطالعه فِلِش‌ها و ساختارها (به نام «اشیاء») که به روی آنها تعریف شده‌اند، ایده‌ای اساسی در نظریه دسته هاست. بسیاری از اصطلاحات مربوط به مورفیزم‌ها و همچنین شهود پشتشان، از کاتگوری‌های محسوس می‌آیند، که در آنها اشیاء به سادگی مجموعه‌هایی با ساختار اضافی و مورفیزم‌ها، توابع حافظ ساختارند.

تعریف[ویرایش]

یک دسته (یا کاتگوری) C شامل دو کلاس است: یکی از اشیاء و دیگر از مورفیزم‌ها.

به هر مورفیزم، دو شئ منتسب می‌شود: مبدأ و مقصد (هدف).

برای بسیاری از کاتگوری‌های رایج، اشیاء مجموعه (معمولاً با ساختاری بیشتر) بوده و مورفیزم‌ها، توابع از یک شئ به شئ دیگر هستند؛ بنابراین مبدأ و مقصدِ یک مورفیزم، اغلب به ترتیب با نام‌های دامنه و هم-دامنه شناخته می‌شوند.

یک مورفیزم f با مرجع X و هدف Y را به صورت f: XY می‌نویسند. در نتیجه یک مورفیزم توسط یک پیکان از مبدأ آن به مقصدش نمایش داده می‌شود.

مورفیزم‌ها مجهز به یک عمل دودویی جزئی به نام ترکیب هستند. ترکیب دو مورفیزم f و g تعریف می‌شود اگر و تنها اگر مقصد f، مبدأ g باشد، و با gf نمایش می‌دهند. مبدأ gf مبدأ f و مقصد gf، مقصد g است. ترکیب، دو اصل موضوعه را ارضاء می‌کند:

همانی
برای هر شئ مورفیزم idX: XX به نام مورفیزم همانی در X وجود دارد به طوری که برای هر مورفیزم f: AB، داریم‏ idBf = f = f ∘ idA ‎.
شرکت پذیری

h ∘ (gf) = (hg) ∘ f ‎ هر زمان که عملیات ترکیب سازی تعریف شدنی باشد، یعنی وقتی که مقصد مبدأ g بوده و مقصد مبدأ h باشد. برای یک کاتگوری محسوس (یعنی که اشیاء اش مجموعه‌های با ساختار اضافه و پیکان‌هایش، نگاشت‌های حافظ ساختارند) مورفیزم همانی، همان تابع همانی بوده و ترکیب، همان ترکیب توابع معمولی است؛ لذا شکرت پذیری، نتیجه می‌شود چرا که ترکیب توابع شرکت پذیر است.

ترکیب مورفیزم‌ها اغلب توسط یک نمودار جابجایی نشان داده می‌شود. برای مثال،

Commutative diagram for morphism.svg

مجموعه تمام مورفیزم‌های از X به Y را با‏ homC(X,Y)‎ یا به ساده‌تر، با‏ hom(X, Y)‎ نشان می‌دهند و به آن و به نام هوم-سِتِ بین X و Y می‌گویند. برخی مؤلفین، می‌نویسند‏ MorC(X,Y)‎،‏ Mor(X,Y)‎ یا ‏ C(XY)‎. توجه داشته باشید که هوم-سِت، اسمی نامناسب است؛ چرا که خانواده مورفیزم‌ها لزوماً مجموعه نیست. یک کاتگوری را که در آن‏ hom(X,Y)‎ بازای همه اشیاء X و مجموعه است، موضعاَ کوچک می‌گویند.

توجه داشته باشید که دامنه و هم-دامنه در واقع بخشی از اطلاعات تعیین کننده یک مورفیزم است. برای مثال در کاتگوری مجموعه‌ها، که در آن مورفیزم‌ها توابعند، دو تابع ممکن است به عنوان مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یکسان باشند (ممکن است دارای بُرد یکسانی باشند) در حالی که هم-دامنه‌های متفاوتی دارند. در نتیجه بسیاری از مؤلفین نیاز دارند که هوم-کلاس‌های ‏ hom(X,Y)‎ مجزا باشند. در عمل این یک مشکل نیست چرا که اگر این گسستگی برقرار نباشد، آنگاه می‌توان مطمئن شد که با اضافه کردن دامنه و هم-دامنه به مورفیزم‌ها (به عبارتی، به عنوان مولفه‌های دوم و سوم از یک سه تایی مرتب) این مسئله برقرار می‌شود.

مثال[ویرایش]

برای نمونه‌های بیشتر، مدخل نظریه دسته‌ها را ببینید.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

.

  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.  در حال حاضر در دسترس به صورت رایگان بر روی خط نسخه (4.2 MB PDF).

پیوند به بیرون[ویرایش]