حلقه (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
صفحه ای از کتاب هیلبرت
فصل IX از کتاب دیوید هیلبرت به نام: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. عنوان این فصل Die Zahlringe des Körpers است. معنای تحت‌اللفظی آن می شود: "حلقه های عددیِ میدان". کلمه "حلقه" در این جا ادغامی از "Zahlring" است.

در ریاضیات، حلقه ساختار بنیادین جبری در جبر مجرد است. این ساختار شامل مجموعه ای مجهز به عمل دوتایی بوده که تعمیم دهنده عملیات حسابی جمع و ضرب است. از طریق این تعمیم، قضیه های حساب به اشیاء غیر عددی چون چند جمله ای ها، سری ها، ماتریس ها و توابع تعمیم پیدا می کند.

یک حلقه گروهی آبلی است به همراه عملگر دوتایی ثانویه ای که خاصیت شرکت پذیری داشته و روی عملگر گروهی آبلی توزیع پذیر است و دارای عنصر همانیست (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، § یادداشت های مربوط به تعاریف را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه ها، جمع و به عملگر ثانویه آن ضرب گویند.

این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه های جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده هایی که به طور طبیعی در نظریه جبری اعداد و هندسه جبری وجود دارند وام گرفته است. مثال هایی از حلقه های جابجایی شامل این موارد می شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک واریته جبری آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثال هایی از حلقه های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس های حقیقی مربعی که در آن ، حلقه گروه ها در نظریه نمایش، جبر عملگرها در آنالیز تابعی، حلقه عملگر های دیفرانسیلی در نظریه عملگر های دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در توپولوژی.

مفهوم سازی برای حلقه ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دهه ی ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل ددکیند، هیلبرت، فرانکل و نوتر بودند حلقه ها را اولین بار به عنوان تعمیم هایی از دامنه های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه های چند جمله ای و پایا هایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می شوند، به صورت صوری و رسمی در آوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه ها در دیگر شاخه های ریاضیاتی چون هندسه و آنالیز ریاضی نیز مفیدند.

تعریف و مثال[ویرایش]

آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح، شامل اعداد زیر است:

خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست.

تعریف[ویرایش]

حلقه، مجموعه ای چون است که به عمل های دوتایی[۱] + و . مجهز شده به گونه ای که در اصول موضوعه زیر به نام اصول موضوعه حلقه ها صدق کند[۲][۳][۴]:

  1. تحت جمع یک گروه آبلیست، یعنی:
    • برای تمام در داریم (یعنی + شرکت‎پذیر است).
    • برای تمام در داریم (یعنی + جابجاییست).
    • عنصری چون در وجود دارد چنان که برای تمام در داشته باشیم (یعنی یک عنصر همانی جمعیست).
    • برای هر در وجود دارد در چنان که (یعنی، یک معکوس جمعی برای است).
  2. تحت ضرب یک مونوئید است، یعنی:
    • برای تمام در داریم (یعنی . شرکت‎پذیر است).
    • عنصری چون در وجود دارد به گونه ای که برای تمام در داریم و (یعنی همانی ضربی است)..[۵]
  3. ضرب بر روی جمع توزیع پذیر است، یعنی:
    • برای تمام در داریم (توزیع پذیری از چپ).
    • برای تمام در داریم (توزیع پذیری از راست).

یادداشتی در مورد تعریف[ویرایش]

همانطور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی است، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می کنند، به حلقه هایی که در آن ها عنصر همانی تعریف نشده rng (به صورت rung یا رانگ تلفظ می شود) گویند و برخی مواقع به آن حلقه کاذب (pseudo-ring) هم گفته می شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.

عملیات + و . را به ترتیب جمع و ضرب گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی . حذف می شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می شود. به عنوان مثال معنی می دهد.

گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست: لزوماً برابر با نیست. حلقه هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را حلقه جابجایی گویند. کتاب های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده سازی اینگونه قرارداد می کنند که حلقه به معنای حلقه جابجایی است.

در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.

گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می توان از دیگر اصول موضوعه های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعه ی مستقل نیست)[۶]. اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "" است، پس اثبات آن در rng قابل استفاده نیست (در مورد رانگ ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).

برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می کنند.[۷] این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.

خواص پایه ای[ویرایش]

برخی از خواص پایه ای یک حلقه فوراً از اصول موضعه بدست می آیند:

  • همانی جمعی، معکوس های ضربی هر عنصر و همنی ضربی، همگی منحصر به فردند.
  • برای هر عنصری چون در یک حلقه چون ، داریم (صفر نسبت به ضرب یک عنصر جاذب (جذب کننده) است) و .
  • اگر در یک حلقه داشته باشیم ، (یا به طور کلی تر اگر یک عنصر معکوس پذیر ضربی باشد)، آنگاه تنها یک عنصر خواهد داشت، به چنین حلقه ای، حلقه صفر گویند.
  • فرمول دو جمله ای برای تمام زوج عناصر جابجا شونده (یعنی، هر و که در رابطه صدق کنند) برقرار است.

مثال: اعداد صحیح به هنگ 4[ویرایش]

همچنین رجوع کنید به: حساب پیمانه ای

مجموعه به عملیات زیر مجهز شده است:

  • جمع در برابر باقیمانده تقسیم بر 4 است (چون همیشه از 8 کوچکتر است، باقیمانده تقسیم آن بر 4 یا برابر است یا ). به عنوان مثال، و .
  • ضرب در برابر با باقیمانده تقسیم بر است. برای مثال، و .

آنگاه، یک حلقه است: هر اصل موضوع از اصل موضوع متناظرش در بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا نمایش می دهند که با نماد های سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل در به صورت است. به عنوان مثال، .

یادداشت ها[ویرایش]

^ a: برخی مؤلفان تنها نیم گروه بودن حلقه تحت ضرب را الزامی می دانند؛ یعنی نیاز نیست حلقه عنصر همانی ضربی داشته باشد (۱).
^ b: عناصری که معکوس ضربی داشته باشند را یکال گویند., این مرجع را ببینید: Lang 2002, §II.1, p. 84.
^ c: اصل موضوع بسته بودن پیش از این در تعریف دوتایی بودن عملیات +/• لحاظ شده است. لذا برخی مؤلفین این اصل را حذف می کنند Lang ۲۰۰۲
^ d: انتقال از اعداد صحیح به اعداد گویا با اضافه نمودن کسر ها توسط مفهوم "میدان کسرها" تعمیم پیدا می کند.
^ e: بسیاری از مؤلفان جابجا بودن حلقه را در "اصول موضوعه" حلقه می گنجانند و لذا به چنین حلقه هایی "حلقه های جابجایی"، یا فقط "حلقه" گویند.

ارجاعات[ویرایش]

  1. این بدان معناست که هر عملیات برای هر جفت عناصر در حلقه نتیجه منحصر به فردی را در تولید می کند.
  2. Nicolas Bourbaki (1970). "§I.8". Algebra. Springer-Verlag.
  3. Saunders MacLane; Garrett Birkhoff (1967). Algebra. AMS Chelsea. p. 85.
  4. Serge Lang (2002). Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. p. 83.
  5. وجود 1 توسط برخی از مؤلفان مفروض واقع نشده؛ اینجا عبارت rng برای حلقه های بدون همانی ضربی استفاده شده. لطفاً بخش یادداشت های مقاله حلقه (ریاضیات) را ببینید.
  6. I. M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course, AMS, 1994, p. 160.
  7. "Non-associative rings and algebras". Encyclopedia of Mathematics.

منابع[ویرایش]

منابع عمومی[ویرایش]

منابع تخصصی[ویرایش]

منابع اولیه[ویرایش]

منابع تاریخی[ویرایش]