هموتوپی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
دو مسیر نقطه چین که در بالا نشان داده شده، نسبت به نقاط پایانی خود هموتوپیک هستند. این انیمیشن یک هموتوپی ممکن بین این دو مسیر را نمایش می دهد.

در توپولوژی، دو تابع پیوسته از یک فضای توپولوژی به دیگری را هموتوپی گویند (از واژه یونانی ὁμός با تلفظ homós به معنای "مشابه" و واژه τόπος با تلفظ tópos به معنای "مکان") اگر یکی از آن ها را بتوان "به طور پیوسته" به دیگری تغییر شکل داد، چنین تغییر شکلی را هموتوپی بین دو تابع گویند. یکی از کاربردهای قابل توجه هموتوپی در تعریف گروه های هموتوپی و گروه های کوهموتوپیست که ناورداهای مهمی در توپولوژی جبری می باشند.[۱]

در عمل، مشکلات تکنیکی سختی در استفاده از هموتوپی ها برای بعضی فضاها وجود دارد. لذا توپولوژی‌دانان جبری با فضاهایی که به طور فشرده تولید شده اند، مجتمع های CW یا طیف‌ها کار می کنند.

تعریف صوری[ویرایش]

یک هموتوپی بین دو چنبره نشانده شده در فضای : به صورت "سطح یک نان شیرینی گرد" و "سطح یک لیوان قهوه". این انیمیشن همچنین مثالی از یک ایزوتوپی است.

به طور صوری، یک هموتوپی بین دو تابع پیوسته و از یک فضای توپولوژی به فضای توپولوژی به صورت تابع پیوسته از ضرب فضای با بازه واحد به فضای تعریف می شود، چنان که برای تمام داشته باشیم و .

اگر پارامتر دوم را به عنوان زمان در نظر بگیریم، آنگاه بیانگر تغییر شکل پیوسته از به توی خواهد بود: در زمان 0، تابع و در زمان 1 تابع را داریم. همچنین می توان به پارامتر دوم به صورت یک نوع "نوار پیمایشی" نگاه کنیم که به ما امکان می دهد وقتی نوار پیمایشی را از 0 به 1 حرکت می دهیم، به طور هموار را به تبدیل کنیم (همین طور برعکس).

شق دیگر این مفهوم را می توان این گونه بیان کرد که یک هموتوپی بین دو تابع پیوسته خانواده ای از توابع پیوسته است که در آن چنان که و و نگاشت یک نگاشت پیوسته از به می باشد. دو توصیف اخیر را با یکی گرفتن توابع می توان یکی سازی کرد. الزام به پیوستگی هر کدام از کافی نیست.[۲]

نگارخانه[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. "Homotopy | mathematics". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-08-17.
  2. Path homotopy and separately continuous functions