هم‌ریختی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر مجرد، هم‌ریختی یا هُمومورفیسم، نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم.

کلمه ی همومرفیسم در زبان قدیم یونان از کلمه ی ὁμός (homos) به معنی 'یکسان' و μορφή (morphe) به معنی 'ریخت' یا 'شکل' گرفته شده است.

ایزومورفیسم ( Isomorphisms ) , اتومورفيسم ( automorphisms ) و اِندومورفيسم (endomorphisms ) انواع خاصی از هم ریختی (homomorphisms) می باشند.

تعریف[ویرایش]

تعریف 1[ویرایش]

در گروه‌ها[ویرایش]

فرض کنید و گروه باشند، نگاشت 'φ:  G → G را هم‌ریختی (همومورفیسم) از G به توی 'G گوییم هرگاه:

عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در ) در G است ولی حاصل‌ضرب در 'G می‌باشد. از تعریف فوق چنین استنباط می‌‌شود که هر هم‌ریختی ساختار G را به ساختار 'G مربوط می‌کند.

در حلقه‌ها[ویرایش]

از آنجایی که حلقه‌ها شامل دو عمل هستند، هم‌ریختی‌ها نیز باید برای هر دو عمل تعریف شوند. مثلاً اگر حلقه‌هایمان را با دو عمل جمع و ضرب در نظر بگیریم در آن صورت نگاشت 'φ:  R → R از حلقه R به توی حلقه 'R یک هم‌ریختی است اگر به ازای هر a,b R داشته باشیم و .

 

تعریف 2[ویرایش]

اگر < o , X > و < * , Y> دو سیستم جبری باشند که از یک نوع بوده و ' o ' و ' * ' عملگر های باینری باشند.نگاشت g : X →Y یک همومرفیسم (و یا به اختصار یک مورفیسم) از < o , X > به < * , Y> نامیده می شود اگر

x1 , x2 ∈X : g (x1 o x2 ) = g (x1 ) * g (x2 )∀

اگر چنین نگاشت g وجود داشته باشد ، به طور عادی گفته می شود < * , Y> تصویر همومورفیک < X , o> است.مفهوم همومورفيسم محدود به سيستم های جبری با یک عملگر باینری ني ست. این

تعریف می تواند به هر دو سيستم جبری از یک نوع گسترش یابد. هنگامی که در یک همومورفيسم عملگرها حفظ شوند ، ویژگی های این عملگرها نيز حفظ می گردند .

تعریف 3[ویرایش]

اگر g یک همومورفیسم از < X , o > به < * , Y> بوده و g : X →Y پوشا نیز باشد، آنگاه g یک اپی مورفیسم ( Epimorphism ) نامیده می شود. اگر g : X →Y یک به یک باشد، آنگاه g یک مونومورفیسم ( Monomorphism) نامیده می شود . در صورتی که نگاشت g : X →Y یک به یک و پوشا باشد ، g یک ایزومورفیسم ( Isomorphism ) نامیده می شود.

تعریف 4[ویرایش]

برای دو سیستم جبری هم نوع < X , o > و < * , Y> اگر یک نگاشت ایزومورفیک g : X →Y وجود داشته باشد ، آنگاه دو سیستم جبری < X , o > و < * , Y> را ایزومورفیک گویند.

هنگامی که < X , o > و < * , Y> ایزومورفیک باشند، آنگاه دو سیستم جبری از نظر ساختاری یکسان خواهند بود ؛ در اصل آنها فقط در برچسب های استفاده شده برای عناصر مجموعه ها و عملگرهای مورد نظر، متفاوت هستند . به آسانی می توان دید که معکوس یک ایزومورفيسم هم ایزومورفيسم است. همچنين همه ویژگی های عملگرها در یک ایزومورفيسم حفظ می شوند.

تعریف 5[ویرایش]

اگر < X , o > و < * , Y> دو سیستم جبری باشند که در آن Y ⊆ X ، آنکاه هر همومورفیسم g از < X , o > به < * , Y> را یک اِندومورفیسم(Endomorphism) نامند. اگر Y = X، آنگاه یک ایزومورفیسم از < X , o > به < * , Y> یک اتومورفیسم (Automorphism) نامیده می شود.

روابط بین انواع مختلفی از همومورفیسم : Hom = مجموعه ی از همومورفیسم ها Mon =مجموعه ی از مونومورفیسم ها Epi = مجموعه ی از اِپی مورفیسم ها Iso = مجموعه ی از ایزومورفیسم ها End = مجموعه ای از اِندومورفیسم ها Aut = مجموعه از اتومورفیسم ها

تعاریف دیگر[ویرایش]

  • - سیستم جبری < * , Y> یک نیم گروه است ، هرگاه تحت * بسته و شرکت پذیر باشد.
  • - سیستم جبری < * , Y> یک گروه است ،هرگاه G تحت * بسته، شرکت پذی، دارای عضو خنثی و همچنین هر عضو G دارای وارون باشد.
  • - سیستم جبری < * , Y> یک مونوئید ( Monoid ) نامیده می شود ، هرگاه یک نیم گروه بوده و علاوه بر آن دارای عضو همانی نیز باشد.
  • - سیستم جبری < R , * , o> را حلقه می نامیم ، هرگاه < * , R> گروهی جایجایی و < R , o > یک نیم گروه باشد و همچنین به ازای a , b , c عضو R دو خاصیت (a o (b * c)=( a o b) * ( a o c و(b * c)oa= ( b o a ) * ( c o a ) برقرار باشد.
  • - همومورفیسم حلقه ای ، نوعی همومورفیسم می باشد که ساختار حلقه ای را حفظ می کند.
  • - گروه آبلی ، گروهی هست که در خاصیت جابجایی برقرار باشد.
  • - همومورفیسم جبری ، نوعی همومورفیسم می باشد که ساختار جبری را حفظ می کند.
  • - همومورفیسم ماژول ، نوعی همومورفیسم می باشد که ساختار ماژولی خود را حفظ می کند.

اجباری وجود ندارد که همه ویژگی های گفته شده در بالا را یک ساختار همومورفیسمی وجود داشته باشد. به عنوان مثال امکان دارد سیستم جبری وجود داشته باشد که نیم گروه باشد ولی مونوئید نباشد.

ساختار جبری امکان دارد که بیش از چند عمل داشته باشد ، و در نتیجه همومورفیسم باید روی هرکدام از عمل ها برقرار باشد . برای مثال حلقه هردو عمل جمع و ضرب را دارد و هم چنین دارای هم ریختی از حلقه (R, +, ∗, 0, 1) به حلقه (R′, +′, ∗′, 0′, 1′) به طوری که برای هر r و s عضو دامنه حلقه داشته باشیم : f ( r + s ) = f ( r ) +′ f ( s ) , f ( rs ) = f ( r ) ∗′ f (s) و f (1) = 1′ .

بنابه تعریف جبر جهانی ، همومورفیسم f : X →Y تابعی بین دو ساختار جبری از یک نوع می باشد به طوری که برای هر عمل n ، μ-تایی و به ازای تمامی مقادیر a1, ..., anA داشته باشیم :

f(μA(a1, ..., an)) = μB(f(a1), ..., f(an))

مثال‌ها[ویرایش]

  • فرض کنید G گروه تمام اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب و 'G گروه اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب باشد و 'φ:  G → G را با |φ(a) = |a تعریف کنیم. در این صورت φ یک هم‌ریختی از G به توی 'G است.
  • اعداد حقیقی یک حلقه هست که دارای عمل های ضرب و جمع می باشد. مجموعه همه ماتریس های دو بعدی نیز همچنین حلقه می باشد.حال اگر تابعی بین دو حلقه به صورت زیر تعریف کنیم :

= f ( r )

f تابعی همومورفیسم از حلقه ها می باشد ، در نتیجه برای جمع و ضرب داریم :

تابع هم ریخت مونوئید(monoid) f از مونوئید (N, +, 0) به (N, ×, 1) که تابع f به صورت f ( x ) = 2x تعریف شده است.f یک به یک می باشد ولی پوشا نمی باشد.

  • به عنوان مثالی دیگر اگر تابع f را تابعی از اعداد مختلط غیر صفر به اعداد حقیقی غیر صفر تعریف کنیم به طوری که :

f(z) برابر مقدار قدرمطلق عدد مختلط غیر صفر z می باشد.در نتیجه این تابع همومورفیسمی از گروه ها می باشد چون خاصیت ضرب را حفظ می کند :

f ( z 1 z 2 ) = | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | = f ( z 1 ) f ( z 2 )

ولی f را نمی توانیم به عنوان همومورفیسمی از حلقه ها دانست ، چون تابع f خاصیت جمع را حفظ نمی کند :

| z 1 + z 2 | ≠ | z 1 | + | z 2 |

بحث[ویرایش]

از آنجایی که جبر مجرد مجموعه ها را با بهره مندی از عملگر ها(operation) مطالعه می کند ، در نتیجه ساختار ها و ویژگی های جالبی روی مجموعه ها به وجود می آید . توابعی که عملگر ها را حفظ می کنند ، بسیار مهم می باشند. به این توابع ، توابع همومورفیسم ( یا هم ریخت) گفته می شود.

برای مثال ، اعداد طبیعی را با عمل جمع در نظر بگیرید. تابعی که خاصیت جمع را حفظ می کند ، باید دارای خاصیت زیر باشد:

f (a + b ) = f ( a ) + f ( b )

برای مثال تابع f ( x ) = 3x تابعی همومورفیسم می باشد ، زیرا f ( a + b ) = 3 ( a + b ) = 3a + 3b = f ( a ) + f ( b ).

همومورفیسم ها (هم ریختی) نباید مجموعه هایی که دارای عمل های یکسانی هستند را به هم نگاشت کنند.برای مثال توابعی که عمل خاصی را حفظ می کنند بین مجموعه اعداد حقیقی با عمل جمع و مجموعه اعداد حقیقی مثبت با عمل ضرب وجود دارند. تابعی که بتوان با این ویژگی برای این دو مجموعه نوشت باید ویژگی f ( a + b ) = f ( a ) * f ( b ) را داشته باشد ، چون عمل جمع مربوط به مجموعه اول و عمل ضرب مربوط به مجموعه دوم می باشد . برای مثال تابع f ( x ) = e x در این شرط برقرار می باشد :

e 2 * e 3 = e 5 و 5 = 2 + 3

اگر برای مجموعه ای چندین عمل در نظرگرفته شود ، برای هر کدام از عمل ها باید تابعی در نظر گرفته شود که در شرط فوق صدق کند.حتی در صورتی که مجموعه ها یکی باشند ، امکان دارد تابعی همومورفیسم گروه باشد (یک عمل دودویی ، عمل معکوس ، عمل همانی و ...) ولی همومورفیسم حلقه نباشد(دو عمل دودویی و ...) چون ممکن است نتواند ساختار مونوئید که لازمه ی تعریف حلقه می باشد را حفظ کند.

هسته[ویرایش]

هر تابع همومورفیسم f : X →Y رابطه ی هم ارزی ~ را روی X به صورت a ~ b اگر و تنها اگر f (a) = f (b) تعریف می کند . رابطه ی ~ هسته تابع f نامیده می شود. رابطه تناسب نیز روی X وجود دارد.ساختار شئی می تواند به مجموعه خارج قسمت X / ~ داده شود ، به عبارتی دیگر [x] ∗ [y] = [xy] . در موردی که تصویر X در Y تحت هم ریختی می باشد ، f لزوماَ یک ریخت است به X / ~; این حقیقت یکی از تئوری های یک ریختی می باشد.

ُساختار های رابطه ای[ویرایش]

در تئوری مدل ، مفهوم ساختار جبری با ساختار هایی که شامل هر دوی عمل ها و رابطه ها می باشند ريال سازمان دهی شده است. فرض کنیم L نشانی باشد که شامل توابع و علائم رابطه ها باشد و A و B دو نمونه از ساختار L باشند.سپس همریختی از A به B نگاشت h از A به B از دامنه A به دامنه B می باشد، به طوری که :

  • h (F A ( a 1 , … , a n ) ) = F B ( h ( a 1 ) , … , h ( a n ) ) به ازای هر تابع n-تایی با نماد F در L.
  • R A ( a 1 , … , a n ) -> R B ( h ( a 1 ) , … , h ( a n ) ) به ازای هر رابطه ی n-تایی با نماد R در L.

منابع[ویرایش]