هم‌ریختی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر مجرد، هم‌ریختی یا هُمومورفیسم، نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم.

تعریف[ویرایش]

در گروه‌ها[ویرایش]

فرض کنید (G,*) و (G',*') گروه باشند، نگاشت 'φ:  G → G را هم‌ریختی (همومورفیسم) از G به توی 'G گوییم هرگاه:

\forall a,b \in G \varphi(a*b)=\varphi(a)*'\varphi(b)

عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در \varphi(ab)) در G است ولی حاصل‌ضرب \varphi(a)\varphi(b) در 'G می‌باشد. از تعریف فوق چنین استنباط می‌‌شود که هر هم‌ریختی ساختار G را به ساختار 'G مربوط می‌کند.

در حلقه‌ها[ویرایش]

از آنجایی که حلقه‌ها شامل دو عمل هستند، هم‌ریختی‌ها نیز باید برای هر دو عمل تعریف شوند. مثلاً اگر حلقه‌هایمان را با دو عمل جمع و ضرب در نظر بگیریم در آن صورت نگاشت 'φ:  R → R از حلقه R به توی حلقه 'R یک هم‌ریختی است اگر به ازای هر a,b \in R داشته باشیم \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) و \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).

مثال‌ها[ویرایش]

  • فرض کنید G گروه تمام اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب و 'G گروه اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب باشد و 'φ:  G → G را با |φ(a) = |a تعریف کنیم. در این صورت φ یک هم‌ریختی از G به توی 'G است.

منابع[ویرایش]