ثابت اویلر–ماسکرونی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مساحت ناحیهٔ آبی رنگ به ثابت اولر-ماسکرونی همگرا است.

ثابت اویلر-ماسکرونی (با نام ثابت اویلر نیز شناخته می‌شود) یک ثابت ریاضی است که در آنالیز و نظریه اعداد بررسی می‌شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی گامای کوچک(γ) نشان داده می‌شود.

این ثابت به صورت حد تفاضل بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی تعریف می‌شود:

در اینجا، تابع جزء صحیح را نشان می‌دهد.

مقدار عددی ثابت اویلر-ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:

۰٫۵۷۷۲۱۵۶۶۴۹۰۱۵۳۲۸۶۰۶۰۶۵۱۲۰۹۰۰۸۲۴۰۲۴۳۱۰۴۲۱۵۹۳۳۵۹۳۹۹۲ (دنباله A001620 در OEIS)
دودویی ۰٫۱۰۰۱۰۰۱۱۱۱۰۰۰۱۰۰۰۱۱۰۰۱۱۱۱۱۱۰۰۰۱۱۰۱۱۱۱۱۰۱
اعشاری ۰٫۵۷۷۲۱۵۶۶۴۹۰۱۵۳۲۸۶۰۶۰۶۵۱۲۰۹۰۰۸۲۴۰۲۴۳۱۰۴۲۱
بر مبنای شانزده ۰٫۹۳C۴۶۷E۳۷DB۰C۷A۴D۱BE۳F۸۱۰۱۵۲CB۵۶A۱CECC۳A
کسر مسلسل [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...]



(هنوز مشخص نیست که این کسر مسلسل متناهی یا نامتناهی دوره ای یا نامتناهی غیر دوره ای است.
کسر مسلسل به روش علامتگذاری خطی نشان داده شده‌است)




منبع: Sloane

تاریخچه[ویرایش]

لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان De Progressionibus harmonicis observationes (نمایهٔ Eneström 43) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت C و O برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان ایتالیایی، لورنزو ماسکرونی از نمادهای A و a برای آن استفاده کرد. علامت γ در هیچ‌یک از نوشته‌های اویلر و ماسکرونی دیده نمی‌شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با تابع گاما انتخاب شده باشد (Lagarias 2013). مثلاً، ریاضیدان آلمانی کارل آنتون برسشنایدر از علامت γ در سال ۱۸۳۵ استفاده کرد(Bretschneider 1837) و آگوستوس دمورگان از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده‌است. (De Morgan & 1836–1842)

ویژگی‌ها[ویرایش]

تابه حال جبری یا متعالی بودن عدد γ مشخص نشده‌است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن γ نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل کسر مسلسل، نشان داد که اگر γ گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10244663 باشد.[۱]

ارتباط با تابع گاما[ویرایش]

γ به تابع دایگاما Ψ، و مشتق تابع گاما Γ مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:

که این برابر با حد زیر است:

نتایج حدی بیشتر (Krämer 2005):

حد مربوط به تابع بتا است (که بر حسب توابع گاما بیان شده‌است)

کسر مسلسل[ویرایش]

بسط کسر مسلسل γ به شکل روبه رو است [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, …] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] OEIS: A002852، که الگوی آشکاری ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده‌اند،[۱] و تعدادشان بی‌نهایت است اگر و تنها اگر γ گنگ باشد.

abm(x) = γx

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P., ed. "Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers". Algorithmic Number Theory. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg. 1423: 338–350. doi:10.1007/bfb0054873. ISBN 978-3-540-69113-6.

پیوند به بیرون[ویرایش]