معادلات ماکسول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

معادله‌های ماکسول، معادله‌هایی هستند که چگونگی ایجاد شدن میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانات الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر میدان دیگر را توصیف می‌کنند. این معادله‌ها مبانی الکترومغناطیس (کلاسیک) و مهندسی برق به‌ شمار می‌روند که اولین بار توسط فیزیکدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول فرمول‌بندی شده‌اند. انواع فرمولبندی برای این معادله‌ها می‌توان ارائه داد. خود ماکسول این معادلات را در قالب ۸ معادله فرمولبندی کرده بود ولی در فضای سه بعدی مشهورترین فرمول بندی، فرمول‌بندی هوی‌ساید این معادلات است که دو فرم دیفرانسیلی و انتگرالی دارد.

فرم هوی‌ساید این معادله‌ها عبارت هستند از:

نام معادله معادلهٔ دیفرانسیلی معادلهٔ انتگرالی
قانون گاوس:
نبودن تک‌قطبی مغناطیسی
(قانون گاوس در مغناطیس):
قانون القای فارادی:
قانون آمپر به علاوه مکمل ماکسول:

در اینجا چگالی بار الکتریکی چگالی جریان الکتریکی، شدت میدان الکتریکی، شدت میدان مغناطیسی و و میدانهایی هستند که توسط چگالی قطبیت الکتریکی و مغناطیسی (به ترتیب و ) در ماده تعریف می‌شوند. در صورتی که ماده خطی باشد، داریم:

و برای این دو میدان به دست می‌آوریم:

فرم تانسوری[ویرایش]

فرم تانسوری چهاربعدی این معادلات این گونه است:

معادله دوم به اتحاد بیانکی مشهور است.

معادلات ماکسول[ویرایش]

معادلات ماکسول (وسط - چپ) به عنوان یک بنای تاریخی در مقابل مرکز دانشگاه ورشو از فن‌آوری‌های جدید برجسته.

معادلات ماکسول مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مشتقات جزئی است که همراه با قانون نیروی لورنتس، اساس الکترومغناطیس کلاسیک (که در قدیم الکترودینامیک نیز نامیده می‌شد)، اپتیک کلاسیک و مدارهای الکتریکی را تشکیل می دهد . این رشته‌ها به نوبه خود پایه های مهندسی برق و فناوری ارتباطات مدرن هستند . معادلات ماکسول به افتخار فیزیکدان و ریاضیدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول نامگذاری شده است، زیرا در شکل اولیه، آن‌ها همگی در مقاله ای چهار بخشی از سوی او در میان سال‌های 1861 و 1862 منتشر شده‌است . فرم ریاضی قانون نیروی لورنتس نیز در این مقاله ظاهر شد . این معادلات انتشار امواج در خلاء با یک سرعت ثابت را توصیف می‌کند. ماکسول همچنین نشان داد که این سرعت هم اندازه سرعت نور است و به درستی حدس زد که نور مانند امواج رادیویی و اشعه X، گونه ای از تابش الکترومغناطیسی و در محدوده طول موج های خاص است. معادلات ماکسول توصیف می‌کنند که میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی چگونه تولید می‌شوند و با بار و جریان در تغییر هستند. نوشتن معادلات ماکسول به اشکال دیگر که هنوز هم "معادلات ماکسول" نامیده می‌شوند اغلب مفید است. در مکانیک کوانتوم، نسخه ای که بر اساس پتانسیل‌های الکتریکی و مغناطیسی هستند ترجیح داده می‌شود. از آنجا که معادلات ماکسول دلالت بر سرعت ثابت نور دارند، آن‌ها مدت‌ها معتقد بودند که فقط برای یک ناظر ساکن با توجه به فرض "اتر" معتبرند. اینشتین، در تئوری نسبیت خاص خود نظریه‌ای به جای معادلات ماکسول داد که برای ناظر دلخواه (ساکن و متحرک) معتبر بود ، و نشان داد که این مفاهیم از نظر فیزیکی مستقل از فضا و زمان ناظر است. با این حال، از اواسط قرن 20 مشخص شده بود که معادلات ماکسول قوانین دقیق جهانی نیستند اما تقریب دقیق تر از نظریه اساسی الکترودینامیک کوانتومی هستند.

توضیح مفهومی[ویرایش]

به صورت مفهومی، معادلات ماکسول توصیف می‌کنند که چگونه بارها و جریان‌های الکتریکی به عنوان منابع برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی عمل می‌کنند . علاوه بر این، توضیح می دهند که چگونه یک میدان الکتریکی متغیر با زمان یک میدان مغناطیسی متغیر با زمان تولید می‌کند و برعکس. (برای توصیف ریاضی این قوانین پایین را ببینید.) دو تا از این معادلات - قانون گاوس و قانون گاوس در مغناطیس - توصیف می کنند که چگونه میدان‌ها از بارها سرچشمه می‌گیرند. (برای میدان مغناطیسی، بار مغناطیسی وجود ندارد.). دو معادله دیگر توصیف می‌کنند که چگونه میدان به دور منابع خود در گردش است؛ میدان مغناطیسی در اطراف جریان‌های الکتریکی در قانون آمپر اصلاح شده توسط ماکسول، و میدان الکتریکی در اطراف میدان‌های مغناطیسی در قانون فارادی گردش می کند.

قانون گاوس[ویرایش]

قانون گاوس ارتباط بین میدان الکتریکی و بارهای الکتریکی را توصیف می‌کند که به موجب آن خطوط میدان الکتریکی از بار مثبت به سوی بار منفی است. خطوط میدان الکتریکی از بار الکتریکی مثبت شروع شده و به بار منفی می رسند. تعداد خطوط میدان گذرنده از یک سطح بسته مانند یک پوسته کروی، بیانگر کل بار داخل توسط آن سطح بسته است.

قانون مغناطیسی گاوس[ویرایش]

قانون مغناطیسی گاوس بیان می‌کند که هیچ بار مغناطیسی (تک قطبی مغناطیسی) وجود ندارد. به جای آن، میدان مغناطیسی ناشی از چیزی به نام دو قطبی مغناطیسی پدید می آید. دو قطبی های مغناطیسی به عنوان حلقه‌های جریان فرض شده، اما جداناپذیر به یکدیگر متصل می‌شوند، و هیچ بار مغناطیسی خالصی وجود ندارد. این قانون (معادله) می‌گوید که خطوط میدان مغناطیسی نه شروع می‌شوند و نه پایان می پذیرند. به عبارت دیگر، هر خط میدان مغناطیسی که وارد یک حجم می‌شوند باید در جایی از آن خارج شوند. معادل فنی جملات این است که مجموع شار مغناطیسی در هر سطح گاوسی، صفر است، یا این که میدان مغناطیسی یک میدان برداری سلنوئیدی است.

قانون فارادی[ویرایش]

قانون فارادی توصیف می‌کند که چگونه میدان مغناطیسی متغیر با زمان یک میدان الکتریکی تولید (القاء) میکند. القای الکترومغناطیسی اساس کار ژنراتورهای الکتریکی است. به عنوان مثال، چرخش یک آهنربا باعث ایجاد تغییر میدان مغناطیسی و باعث تولید میدان الکتریکی در نزدیکی یک سیم می شود.

قانون آمپر با تصحیح ماکسول[ویرایش]

آن وانگ's magnetic core memory (1954) is an application of قانون آمپر. Each core stores one bit of data.

قانون آمپر تصحیح شده توسط ماکسول بیان می‌کند که میدان مغناطیسی را می‌توان به دو روش تولید کرد؛ با جریان الکتریکی (قانون آمپر) و با تغییر میدان الکتریکی با زمان (این تصحیح ماکسول بود). تصحیح ماکسول در قانون آمپر بسیار مهم است و نشان می دهد که نه تنها نتیجه تغییر میدان مغناطیسی القای میدان الکتریکی است، بلکه تغییر الکتریکی نیز موجب القای میدان مغناطیسی است. بنابراین، این معادلات به امواج الکترومغناطیسی اجازه می‌دهد در فضا منتشر شود. سرعت محاسبه شده برای امواج الکترومغناطیسی، دقیقاً منطبق با سرعت نور و در واقع، نور یک شکل از امواج الکترومغناطیسی است. ماکسول ارتباط بین امواج الکترومغناطیس و نور را در سال 1861 دریافت. و به دنبال آن الکترومغناطیس و اپتیک یکپارچه

ارتباط بین فرمولهای دیفرانسیل و انتگرال[ویرایش]

فرمولهای معادلات دیفرانسیل و انتگرال ازنظر ریاضی معادل هستند. با قضیه دیورژانس در مورد قانون گوس و قانون گاوس برای مغناطیس، و توسط کلوین قضیه استوکس در مورد قانون فارادی و قانون آمپر. هر دو فرمول دیفرانسیل و انتگرال مفید هستند. فرمول انتگرال اغلب می‌تواند به سادگی و به‌طور مستقیم محاسبه میدان از توزیع متقارن بارها و جریان مورد استفاده قرار گیرد. از سوی دیگر، فرمول دیفرانسیل نقطه شروع طبیعی تر برای محاسبه میدان در موقعیت‌های پیچیده تر (کمتر متقارن) است، به عنوان مثال با استفاده از تجزیه و تحلیل المان محدود.

معادلات خلاء، امواج الکترومغناطیسی و سرعت نور[ویرایش]

در یک منطقه بدون بار (0= ρ) و بدون جریان (J = 0) از جمله در خلاء، معادلات ماکسول را کاهش دهد :

جایی که سرعت نور در خلا است. با بحث درباره کرل و با استفاده از معادلات کرل می‌توان معادلات موج را بدست آورد

به عبارت دیگر، B و E معادله موج را برآورده می‌کنند. علاوه بر این، E و B در جهت انتشار موج متقابلاً عمود بر یکدیگر هستند وبا یکدیگر هم فاز هستند. موج سینوسی هواپیما یک راه حل ویژه‌ای از این معادلات است. معادلات ماکسول توضیح می‌دهد که چگونه این امواج می‌تواند از طریق فضا انتشار یابند. تغییر میدان مغناطیسی باعث ایجاد تغییردر میدان الکتریکی ، از طریق قانون فارادی می‌شود. در حالی که میدان الکتریکی باعث ایجاد تغییر در میدان مغناطیسی طبق تصحیح قانون آمپر ماکسول است. به نوبه خود، که میدان الکتریکی ایجاد یک میدان مغناطیسی در حال تغییر از طریق اصلاح ماکسول قانون آمپر. حال این چرخه دائمی به این امواج، که به عنوان تابش الکترومغناطیسی شناخته شده است، اجازه می‌دهد تا از طریق فضا در سرعت c حرکت کنند.

معادلات در واحدهای گوسی[ویرایش]

دستگاه یکاهای گاوسی یک دستگاه یکای پراستفاده است که زیرمجموعه‌ای از دستگاه سانتیمتر گرم ثانیه ( CGS )می‌باشد . استفاده از واحدهای گاوسی منجر به تعییر شکل ظاهری معادلات ماکسول می‌شود. معادلات ماکسول در دستگاه گاوسی چنین هستند:

معادلات ماکسول در دستگاه گاوسی
Name معادلات میکروسکوپیک معادلات ماکروسکوپیک
قانون گاوس
قانون مغناطیسی گاوس مانند معادله میکروسکوپیک
معادله ماکسول-فارادی (القای فارادی) مانند معادله میکروسکوپیک
قانون آمپر (با اصلاح ماکسول)

میکروسکوپی" در مقابل "ماکروسکوپی[ویرایش]

نوع میکروسکوپی از معادله ماکسول بیانگر میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B در قوانین بار کل و جریان کل حاضر شامل بارها و جریان‌ها در سطح اتمی است. این گاهی اوقات صورت عمومی از معادلات ماکسول و یا "معادلات ماکسول در خلاء "نامیده می‌شود. نوع ماکروسکوپی معادله ماکسول به همان اندازه عمومی است، با این حال، تفاوت ... "معادلات ماکروسکوپی ماکسول"، همچنین به عنوان معادلات ماکسول در ماده شناخته شده است، بیشتر شبیه به کسانی است که ماکسول خود معرفی کرد. بر خلاف معادلات "میکروسکوپی"، آن عامل به بار وجریان محدود برای به دست آوردن معادله‌ای که فقط به بار و جریان آزاد بستگی دارد است. هزینه این فاکتور این است که زمینه‌های اضافی، جابجایی میدان D و میدان مغناطیسی H، تعریف می‌شوند که نیاز به تعیین دارند. معادلات تشکیل دهنده پدیدارشناسانه به زمینه‌های اضافی میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B، اغلب از طریق یک رابطه خطی ساده مرتبط هستند.

میدانهای کمکی، قطبش و خاصیت مغناطیسی[ویرایش]

تعریف‌های میدانهای کمکی عبارتند از :

که در آن P زمینه قطبش و M میدان مغناطیسی است به عنوان که در قوانین و مقررات از بار میکروسکوپی محدودشده و جریان محدود تعریف شده‌است. چگالی بار ماکروسکوپیک محدود شده ρb و چگالی جریان محدود Jb در شرایط استفاده از قطبش و مغناطش تعریف شده به عنوان :

اگر ما آزاد، محدود، و کل بار و چگالی جریان را تعریف کنیم

و با استفاده از روابط معینی برای حذف D وH معادلات ماکروسکوپیک ماکسول تبدیل به معادلات میکروسکوپی می‌شود.

روابط ساختاری[ویرایش]

به منظور اعمال معادلات ماکروسکوپی ماکسول، مشخص کردن روابط میان جابجایی میدان D و E میدان الکتریکی، و همچنین به عنوان میدان مغناطیسی H و B لازم است. همچنین، ما باید وابستگی قطبش P (افزایش شار محدود) و M خاصیت مغناطیسی (افزایش جریان محدود) در اعمال میدان الکتریکی و مغناطیسی را تعیین کنیم. معادلات تعیین شده به این روش، روابط ساختاری نامیده می‌شوند. دردنیای واقعی مواد، روابط ساختاری به ندرت ساده هستند، به جز در حدود، و معمولاآنهایی که از طریق آزمایش تعیین شده‌است. برای توضیحات کاملتر مقاله اصلی را ببینید. اشکال ماکروسکوپی معادلات ماکسول برای مواد مختلف در زیر ارائه شده‌است. در هر صورت، قانون فارادی از القاء و قانون گاوس برای مغناطیس همیشه یکسان است.

مواد بدون قطبش و خاصیت مغناطیسی ("خلاء")[ویرایش]

روابط ساختاری عبارتند از :

برای مقادیر ثابت و چون هیچ بار مقیدی وجود ندارد بار کل آزاد و جریان با هم برابرند

قانون گاوس تبدیل می‌شود به :

قانون مداری آمپر تبدیل می‌شود به :

یک بخش کلیدی از محتوای فیزیکی معادله ماکسول این است که خلاء (به عنوان مثال در فضای بین ستاره‌ای ، و در داخل خود اتم‌ها یافت می‌شود) ساده‌ترین ارتباطات خطی سازنده دارد. در بازرسی نزدیکتر این سادگی به ساختار متریک فضا بستگی دارد. در واقع، در 4 بعدی فرمول نسبیت، رابطه ساختاری از خلاء فضای متریک فضا-خلا لورنتز از زمان تا مقیاس مشخص می‌کند. (یعنی هندسه فضا زمان همشکل) یا به‌طور برابر، مخروط‌های نور.

مواد غیرخطی[ویرایش]

در مورد مواد غیر خطی (برای مثال به اپتیک غیر خطی نگاه کنید)، D و P به E الزاماً مرتبط نیست، به‌طور مشابه B الزاماً مرتبط نیست با H یا M. به‌طور کلی یک رابطه وجود دارد D = D (E، B، X، T) و H = H (E، B، X، T) که پاسخ مواد فیزیکی راتوصیف می‌کند. برای یک شرح کامل نیز باید چگونگی رفتار جریان و چگالی بار در شرایط استفاده از E و B توصیف شود که احتمالاً با دیگر مقادیر فیزیکی مانند جرم، چگالی، فشار و سرعت حمل ذرات بار همراه تزویج شده‌است. فرمول‌های متغیر

منابع[ویرایش]

  • Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN: 0-471-30932-X.
  • Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997