بردار پوئینتینگ

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
الکترومغناطیس
VFPt Solenoid correct2.svg
برق · مغناطیس

بردار پوئین‌تینگ، نامِ برداری در فیزیک است. اندازه‌ی این بردار، چگالیِ انرژیِ الکترومغناطیسی‌ای را نشان می‌دهد که از واحدِ سطح در واحدِ زمان عبور می‌کند و واحدِ آن وات بر مترِ مربع (W/m2) است. این بردار، به نامِ کسی که آن را به دست آورد، جان هانری پوئین‌تینگ، نام‌گذاری شده است. این بردار از طریقِ رابطه‌ی زیر، با میدانِ الکتریکی و میدانِ مغناطیسی، پیوند می‌یابد:

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E} \times \mathbf{B}

که در آن:

  • \mathbf{S} \ نشان‌دهنده‌ی بردارِ پوئین‌تینگ است.
  • \mathbf{E} \ نشان‌دهنده‌ی بردارِ میدانِ الکتریکی است.
  • \mathbf{B} \ نشان‌دهنده‌ی بردارِ میدانِ مغناطیسی است.

رابطه‌ها و اثبات آن‌ها[ویرایش]

اندازه بردار پوئین‌تینگ[ویرایش]

چگالیِ انرژیِ الکتریکی و چگالیِ انرژیِ مغناطیسی‌ای که در یک سیستم ذخیره شده است، هر کدام به ترتیب از رابطه‌هایِ زیر به دست می‌آیند:

 u_e = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left|{\mathbf{E}}\right|^2
u_m = \frac{1}{2}\frac{\left|{\mathbf{B}}\right|^2}{\mu_0}

در نتیجه چگالیِ انرژیِ کلِ ذخیره شده در فضا، عبارت است از:

u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 \left|{\mathbf{E}}\right|^2 + \frac{\left|{\mathbf{B}}\right|^2}{\mu_0}\right)

موجِ الکترومغناطیسی در خلاء با سرعتِ نور منتشر می‌شود که آن را با c نمایش می‌دهیم. در بازه‌یِ زمانیِ \Delta t، این موج به اندازه‌ی c\Delta t به جلو رفته است. اگر یک میدانِ پیوسته‌ی الکترومغناطیسی را در نظر بگیریم که در یک بازه‌ی زمانیِ معین به سطحی با مساحتِ A می‌تابد، آن‌گاه از هر واحدِ سطح، طولِ c\Delta t از میدانِ الکترومغناطیسی عبور کرده است. اگر انرژی هر واحد از طولِ عبور کرده برابر با u که همان چگالیِ انرژی است باشد آن‌گاه انرژیِ کلِ عبور کرده در واحدِ سطح در یک بازه‌ی زمانیِ برابر خواهد بود: u\left(\mbox{c}\Delta t\right) با تقسیم کردنِ انرژیِ کلِ عبوری بر زمانی که این انرژی عبور کرده است، انرژیِ کلِ عبور کرده از واحدِ سطح، در واحدِ زمان، به دست می‌آید:

\left|\mathbf{S}\right| = uc
\left|\mathbf{S}\right| = \frac{1}{2}\mbox{c}\left(\epsilon_0 \left|{\mathbf{E}}\right|^2 + \frac{\left|{\mathbf{B}}\right|^2}{\mu_0}\right)

حال با توجه به اینکه  c^2 =\frac {1}{\mu_0 \varepsilon_0} به راحتی می‌توان نشان داد که : u_m و u_e با هم برابر هستند. به علاوه، از آن‌جایی که موجِ الکترومغناطیسی، موجی عرضی است، میدان‌هایِ الکتریکی و مغناطیسیِ آن بر هم عمود هستند و می‌توان نشان داد که  \left|\mathbf{E}\right| = c\left|\mathbf{B}\right| در نتیجه با جایگذاریِ این دو رابطه در رابطه‌ی بالا، رابطه‌ی نهایی برایِ اندازه‌یِ بردارِ پوئین‌تینگ این‌گونه به دست می‌آید:

 \left|\mathbf{S}\right| = \frac {1}{\mu_o}\left|\mathbf{E}\right|\left|\mathbf{B}\right|

دیگر رابطه‌ها[ویرایش]

بردارِ پوئین‌تینگ، که از تعمیمِ این رابطه به بردارها ساخته شده است، برداری است که جهتِ آن، جهتِ سطحِ عبوری را نشان می‌دهد -با توجه به عمود بودنِ میدانِ الکتریکی و مغناطیسی بر هم و عرضی بودنِ موج.- و اندازه‌ی آن، اندازه‌ی انرژیِ عبوری از واحدِ سطح را در واحدِ زمان نشان می‌دهد. با توجه به آن‌که  \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{H} ، این بردار، آن‌طور که خودِ جان پوئینتینگ، آن را نمایش می‌داد و به فرمِ آبراهام معروف است، خواهد بود:

\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H},

یکی از دلایلِ اهمیتِ این بردار، این است که به کمکِ آن، می‌توان بسیاری از کمیت‌هایِ دیگر را به راحتی، محاسبه کرد. یکی از مهم‌ترینِ این کمیت‌ها، تابندگی یا چگالیِ تابش (Irradiance) است که از میانگینِ گرفتنِ اندازه‌ی S در یک دوره‌ی تناوب به دست می‌آید:

I = \left \langle S \right \rangle_T = \frac {1}{2} \varepsilon_0 \left| \mathbf{E} \right|^2

منابع[ویرایش]

  1. هشت، یوگن؛ Optics، ویرایش چهارم، صفحه‌ی ۵۴ تا ۵۷
  2. ریتس، جان؛ فردریک میلفورد و رابرت کریستی؛ مبانی نظریه الکترومغناطیس؛ ویرایش سوم، ترجمه‌ی جلال صمیمی، نشر مرکز، صفحه‌ی ۴۳۱
  3. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Poynting vector»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۸ آوریل ۲۰۱۲).