قانون کولن

قانون کولُن (Coulomb Law)، یک قانون در فیزیک است که واکنش‌های الکترواستاتیکی میان بارهای نقطه‌ای را وصف می‌کند. این قانون نخستین بار در سال ۱۷۸۳ توسط فیزیکدان فرانسوی شارل آگوستَن کولن منتشر شد و منجر به گسترش نظریهٔ الکترومغناطیس شد. این در حالی است که رابطهٔ نیروی الکتریکی و فاصله (از نوع نیروهای با رابطهٔ عکس مجذوری) قبلاً توسط جوزف پریستلی کشف شده بود و رابطهٔ میان فاصله و بار الکتریکی توسط هنری کاوندیش بیان شده بود که همهٔ این‌ها پیش از اقدامات کولن بوده‌است.^[۱] از قانون کولن می‌توان برای استخراج قانون گاوس استفاده کرد و بالعکس.

قانون کولن از دیدگاه عددی (اسکالر) به شکل زیر بیان می‌شود:

بزرگی نیروی میان دو بار نقطه‌ای، به طور مستقیم به بزرگی هر یک از بارها بستگی داشته و رابطهٔ عکس با مجذور فاصلهٔ دو بار دارد.^[۲]

بیان عددی

نمایشی ساده از قانون کولن، بارهای هم نام همدیگر را دفع می‌کنند و غیر همنام یکدیگر را جذب می‌کنند

قانون کولن بیان می‌کند که دو بار الکتریکی نقطه‌ای هم‌علامت یکدیگر را دفع و ناهم‌علامت یکدیگر را جذب می‌کنند. شکل اسکالر قانون کولن تنها بزرگی نیروی الکترواستاتیکی بین دو بار نقطه‌ای را بیان می‌کند:

$F=k_{e}{\frac {|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}}$ (در برخی نگارش‌ها، علامت بارها نیز در نظر گرفته می‌شود؛ در این صورت نیروی مثبت به معنای دافعه و نیروی منفی به معنای جاذبه است):

: $F=k_{e}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ که در آن:

$F$ : بزرگی نیروی الکترواستاتیکی (واحد: نیوتن)

$q_{1}$ ، $q_{2}$ : مقدار بارهای الکتریکی (واحد: کولن)

$r$ : فاصلهٔ بین مراکز دو بار (واحد: متر)

$k_{e}$ : ثابت کولن (ثابت تناسب الکترواستاتیکی، واحد: $\mathrm {N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}$ )

در خلأ (یا به طور تقریبی در هوا)، مقدار ثابت کولن برابر است با:

$k_{e}\approx 8.99\times 10^{9}\,\mathrm {N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}$ (مقدار دقیق: $8.987\,551\,7923\times 10^{9}$ ).

برای برقراری دقیق این رابطه، بارها باید نقطه‌ای باشند یا ابعادشان در مقایسه با فاصلهٔ $r$ بسیار کوچک باشد (تقریب بار نقطه‌ای).

در دستگاه بین‌المللی یکاها (SI)، ثابت $k_{e}$ برابر ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ است که $\epsilon _{0}$ گذردهی الکتریکی خلأ است. در نظام دستگاه واحدهای سانتیمتر–گرم–ثانیه (CGS)، ثابت کولن برابر ۱ در نظر گرفته می‌شود و فرمول به صورت $F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ نوشته می‌شود.

این رابطه نشان می‌دهد که بزرگی نیرو با حاصل‌ضرب بزرگی بارها رابطهٔ مستقیم و با مجذور فاصله رابطهٔ عکس دارد.

قانون کولن در مقیاس‌ اتمی و زیراتمی نیز کاربرد دارد و پایهٔ بسیاری از پدیده‌های الکترواستاتیکی است.

شدت میدان الکتریکی

بزرگی میدان الکتریکی که توسط یک بار نقطه‌ای ( $q$ ) در فاصلهٔ ( $r$ ) به‌دست می‌آید، عبارت است از:

E={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {q}{r^{2}}}

برای یک بار مثبت جهت میدان الکتریکی به صورت یک چشمه از امکان قرارگیری بار است؛ در حالی که برای بار منفی در جهت مخالف است. واحد میدان الکتریکی در اس‌آی ولت بر متر یا نیوتن بر کولن است.

بیان برداری

به منظور این‌که هم اندازه و هم جهت نیروی وارد بر یک بار نقطه‌ای محاسبه شود، $q_{1}$ را در $\mathbf {r} _{1}$ و q₂ را در $\mathbf {r} _{2}$ در نظر بگیرید شکل کامل قانون کولن چنین است:

\mathbf {F} ={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1}q_{2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}) \over |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1}q_{2} \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} _{21}

که در آن $r$ فاصلهٔ بین دو بار است این توصیف عددی قانون کولن را با جهت بردار $r_{12}$ ساده‌تر می‌کند (که با خط واصل $q_{1}$ و $q_{2}$ موازی است). اگر دو بار هم‌علامت باشند حاصل‌ضرب $q_{1}$ و $q_{2}$ مثبت است و نیروی وارد بر $q_{1}$ با بردار $\mathbf {\hat {r}} _{21}$ ، داده می‌شود در این حالت بارها همدیگر را دفع می‌کنند اگر بارها غیر هم علامت باشند حاصل ضرب $q_{1}$ و $q_{2}$ منفی است و جهت نیروی وارد بر $q_{1}$ در جهت $\mathbf {\hat {r}} _{21}$ ، است در این حالت بارها همدیگر را جذب می‌کنند.

در الکترواستاتیک، بر پایهٔ اصل برهم‌نهی، نیروی کل وارد بر یک بار الکتریکی آزمون کوچک $q$ واقع در نقطهٔ ${\vec {r}}$ از سوی یک سیستم شامل $N$ ذرهٔ باردار به صورت فرمول زیر بیان می‌شود:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}{q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}{q_{i} \over R_{i}^{2}}\mathbf {\hat {R}} _{i}

در این رابطه، $q_{i}$ مقدار بار الکتریکی $i$ اُمین ذره و ${\vec {r}}_{i}$ بردار موقعیت آن است. ${\hat {\mathbf {R} }}_{i}$ یک بردار یکه در راستای ${\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}$ است (برداری که از موقعیت بار $q_{i}$ به موقعیت بار آزمون $q$ اشاره می‌کند).

توزیع پیوسته بار

هنگامی که بار الکتریکی به صورت پیوسته در فضا پخش شده باشد، برای محاسبهٔ نیروی کل وارده بر یک بار الکتریکی آزمون کوچک $q$ واقع در نقطهٔ ${\vec {r}}$ ، به جای جمع گسسته، از انتگرال بر روی توزیع بار استفاده می‌شود. در این حالت، هر المان کوچک بار $dq$ واقع در موقعیت ${\vec {r}}'$ در نظر گرفته می‌شود. انواع اصلی توزیع‌های پیوستهٔ بار به شرح زیر است:

توزیع بار خطی (چگالی بار خطی $\lambda ({\vec {r}}')$ ، با واحد بار بر واحد طول؛ تقریبی مناسب برای بار روی یک سیم نازک):

dq=\lambda ({\vec {r}}')\,dl'

توزیع بار سطحی (چگالی بار سطحی $\sigma ({\vec {r}}')$ ، با واحد بار بر واحد سطح؛ تقریبی مناسب برای صفحات موازی در خازن‌ها):

dq=\sigma ({\vec {r}}')\,dA'

توزیع بار حجمی (چگالی بار حجمی $\rho ({\vec {r}}')$ ، با واحد بار بر واحد حجم؛ مناسب برای بار پخش‌شده در داخل یک حجم فلزی):

dq=\rho ({\vec {r}}')\,dV'

نیروی کل وارد بر بار آزمون $q$ بر پایهٔ اصل برهم‌نهی، به صورت زیر به‌دست می‌آید:

{\vec {F}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {dq\,({\vec {r}}-{\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}

در این رابطه، بردار ${\vec {r}}-{\vec {r}}'$ از موقعیت المان بار $dq$ به سمت بار آزمون $q$ اشاره دارد.

محدودیت ها

برای اعمال دقیق قانون کولن، سه شرط اصلی ضروری است:

بارها باید دارای توزیع متقارن کروی باشند (برای مثال، بار نقطه‌ای یا کرهٔ فلزی باردار که میدان الکتریکی بیرون از آن معادل بار نقطه‌ای در مرکز است).
بارها نباید با یکدیگر هم‌پوشانی داشته باشند (یعنی باید بارهای مجزای نقطه‌ای یا اجسام جدا از هم باشند).
بارها باید نسبت به یکدیگر ساکن و ثابت باشند.

شرط سوم به عنوان تقریب الکتروستاتیکی نیز شناخته می‌شود. هنگامی که بارها نسبت به یکدیگر حرکت می‌کنند، برای توصیف دقیق نیرو باید نسبیت خاص اینشتین را در نظر گرفت؛ در نتیجه، نیروی کل میان دو بار تغییر می‌کند.

بخش افزوده‌شده به این نیرو، نیروی مغناطیسی نامیده می‌شود که توسط میدان مغناطیسی تعریف می‌گردد. در حرکت‌های آهسته (سرعت‌های غیرنسبیتی)، نیروی مغناطیسی ناچیز است و قانون کولن تقریب مناسبی ارائه می‌دهد، اما هنگامی که بارها با سرعت‌های بالا نسبت به یکدیگر حرکت کنند، باید قوانین الکترومغناطیس را در نظر گگرفت.

نمونه تصویری

شکل زیر نمونه‌ای تصویری از قانون کولن است که در آن $q_{1}q_{2}>0$ بردار $\mathbf {F} _{1}$ در $q_{1}$ و $\mathbf {F} _{2}$ در $q_{2}$ کشیده شده‌است بزرگی آنها با هم برابر است بردار $\mathbf {r} _{21}$ نیز بردار فاصله دو بار $q_{1}$ و $q_{2}$ است.

شباهت‌های الکترواستاتیکی

در فرمول‌بندی کلاسیک ارائه‌شده، قانون کولن تنها در حالتی دقیقاً برقرار است که بارهای الکتریکی نسبت به یکدیگر ساکن باشند یا با سرعت‌های بسیار پایین (غیرنسبیتی) حرکت کنند. هنگامی که بارها حرکت می‌کنند، میدان مغناطیسی تولیدی باعث ایجاد نیروی اضافی می‌شود که نیروی کل وارد بر اجسام را تغییر می‌دهد. برهم‌کنش‌های مغناطیسی میان بارهای در حال حرکت را می‌توان به صورت اصلاحاتی بر نیروهای الکترواستاتیکی تفسیر کرد - اما نسبیت خاص اینشتین دیدگاه عمیق‌تری ارائه می‌دهد و نشان می‌دهد که نیروهای الکتریکی و مغناطیسی در واقع جنبه‌های مختلفی از یک نیروی واحد الکترومغناطیسی هستند.

جدول نتیجه‌گیری

ویژگی اجسام

روابط

ویژگی میدان

کمیت‌های برداری

نیرو)

\mathbf {F} _{21}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1}q_{2} \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} _{21}\

\mathbf {F} _{21}=q_{1}\mathbf {E} _{21}

میدان الکتریکی)

\mathbf {E} _{21}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{2} \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} _{21}\

روابط

\mathbf {F} _{21}=-\mathbf {\nabla } U_{21}

\mathbf {E} _{21}=-\mathbf {\nabla } V_{21}

کمیت‌های اسکالر

انرژی پتانسیل)

U_{21}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1}q_{2} \over r}\

U_{21}=q_{1}V_{21}\

پتانسیل)

V_{21}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{2} \over r}

جستارهای وابسته

منابع

↑ Robert S. Elliott (1999). Electromagnetics: History, Theory, and Applications. ISBN 978-0-7803-5384-8.
↑ James Clerk Maxwell, ed. , The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish... (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1879), pages 104-113: "Experiments on Electricity: Experimental determination of the law of electric force."

پیوند به بیرون

آموزش ویدئویی قانون کولن در کلاس درس

[1] Robert S. Elliott (1999). Electromagnetics: History, Theory, and Applications. ISBN 978-0-7803-5384-8.

[2] James Clerk Maxwell, ed. , The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish... (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1879), pages 104-113: "Experiments on Electricity: Experimental determination of the law of electric force."

[۱]

[۲]