رابطه خطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
رابطهٔ خطی، متغیرهای متناسب

رابطهٔ خطی یا خطی بودن (به انگلیسی: Linearity)، ویژگی یک رابطه یا عملکرد ریاضی است؛ به این معنی که می‌توان آن رابطه را در شکل نموداری به صورت یک خط مستقیم نشان داد. مثال‌های رابطهٔ خطی ولتاژ و جریان در یک مقاومت (قانون اهم)، یا جِرم و وزن یک شیء است. تناسب بیانگر خطی بودن است، اما خطی بودن لزوماً به معنای تناسب رابطه نیست.

در ریاضیات[ویرایش]

در ریاضیات، یک نگاشت خطی یا تابع خطی f(x) تابعی است که دو ویژگی زیر را برآورده می‌کند:[۱]

  • (Additive map)Additivity:تابعی که عمل اضافی را حفظ می‌کند: f(x + y) = f(x) + f(y).
  • Homogeneous (function Homogeneity) درجهٔ ۱: fx) = αf(x) for all α.

مفهوم رابطهٔ خطی را می‌توان به عملگرهای خطی گسترش داد. مثال‌های مهم از عملگرهای خطی مشتق را شامل می‌شود که عملگر دیفرانسیلی در نظر گرفته شده، و بسیاری از آن، از جمله عملگرهای دل و لاپلاس ساخته شده‌اند. هنگامی که یک معادله دیفرانسیلی را بتوان در شکل خطی بیان کرد، به طور کلی معادله به سادگی با شکستن آن به قطعات کوچک، و حل این قطعات، و در نهایت جمع‌کردن نتیجه‌ها، قابل حل است.

جبر خطی شاخه‌ای از ریاضیات است و به مطالعهٔ بردارها، فضاهای برداری (همچنین فضاهای خطی نامیده می‌شود)، تحولات خطی (همچنین به نام نگاشت خطی خوانده می‌شود) و سیستم‌های معادلات خطی می‌پردازد.

واژهٔ خطی و واژهٔ لاتین آن (لینیر linear) به معنی «مربوط به خط» اشاره به مشابه خط بودن است، برای شرح معادلات خطی و غیر خطی، به مقاله‌های اصلی آنها مراجعه کنید. فیزیکدانان و ریاضیدانان به استفاده از معادلات و توابع غیر خطی علاقه‌مند هستند زیرا آن‌ها می‌توانند برای نشان‌دادن بسیاری از پدیده‌های طبیعی، از جمله آشوب، آن‌ها را به راحتی مورد استفاده قرار دهند.

چندجمله‌ای‌های خطی[ویرایش]

در یک استفادهٔ متفاوت از تعریف فوق، به یک چندجمله‌ای درجهٔ ۱، خطی گفته می‌شود زیرا گراف یک تابع از آن به شکل یک خط است.[۲]

در حقیقت، یک معادلهٔ خطی یکی از اشکال:

است؛ که در آن "m" اغلب شیب یا گرادیان نامیده می‌شود، و "b" عرض از مبدأ است؛ که نقطه تقاطع بین گراف تابع و محور "y" را نشان می‌دهد.

توجه شود که این استفاده از اصطلاح خطی همانند بخش فوق نیست، زیرا چندجمله‌ای‌های خطی بر روی اعداد حقیقی، به طور کلی هیچ جمع‌بندی یا یکنواختی را برآورده نمی‌کنند. در حقیقت، اگر و فقط اگر «صفر = b» باشد، این کار را انجام می‌دهند؛ بنابراین در حالت «b ≠ ۰»، تابع اغلب یک تابع آفین نامیده می‌شود، (تبدیل آفین را ببینید).

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 78. ISBN 978-0-8176-3731-6. 
  2. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed. , Brooks Cole Cengage Learning. شابک: ‎۹۷۸-۰-۴۹۵-۰۱۱۶۶-۸, Section 1.2