معادلات فریدمان

معادلات فریدمان(به انگلیسی: Friedmann equations) از حل معادلات میدان اینشتین برای متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر می‌توان به راحتی معادلات انبساط جهانِ همگن و ایزوله با چگالی انرژی$\!\rho$ و چگالی فشار$\!p$ را بر حسب عامل مقیاس و مشتقات مرتبه اول و دوم آن نسبت به زمان به دست آورد. این کار اولین بار توسط الکساندر فریدمان در سال ۱۹۲۲ انجام گردید و معادلات مشابهی با انحنای فضایی منفی در سال ۱۹۲۴ توسط وی ارائه شد. دو معادله مستقل فضایی و زمانی فریدمان به ترتیب عبارتند از

${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}$

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

که در آن $H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}$ به پارامتر هابل و G ثابت گرانشی نیوتن و Λ ثابت کیهان شناسی و c سرعت نور نام دارند. اغلب می‌توان با ارتباط بین پارامتر هابل و عامل مقیاس این معادلات را با پارامتر هابل بازنویسی کرد

$H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}$

${\dot {H}}+H^{2}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).$

به $k \over a^{2}$ انحنای فضایی گفته می‌شود که به ترتیب برای k= +۱، جهان با انحنای مثبت (بسته)، برای k= -۱ جهان با انحنای منفی (باز)، و برای k= 0 جهان با انحنای صفر (تخت) خواهد بود. در این معادلات اسکالر ریچی به صورت $R={\frac {6}{a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})$ محاسبه می‌شود. اگر از معادله اول فریدمان نسبت به زمان مشتق بگیریم و از معادله دوم نیز استفاده کنیم با صرف نظر از ثابت کیهان شناسی داریم

${\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),$

چگالی بحرانی

مقدار چگالی جرم–انرژی ρc در حالتی که Λ=0 منجر به k=0 شود، «چگالی بحرانی» نامیده می‌شود:

$$\rho _{c}\equiv {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}.$$

به این ترتیب اگر جهان چگالی بیشتری داشته باشد (ρ≥ρc​)، در این تقریب ساده گفته می‌شود جهان «فضامند بسته» است، یعنی در نهایت منقبض خواهد شد. در مقابل، اگر چگالی کمتر از چگالی بحرانی باشد (ρ≤ρc​)، جهان «فضامند باز» نامیده می‌شود و برای همیشه منبسط خواهد شد. بنابراین هندسه‌ جهان مستقیماً به چگالی آن وابسته است.

به‌طور خلاصه:

• اگر ρ>ρc​ : جهان بسته است (در نهایت منقبض می‌شود).
• اگر ρ<ρc​ : جهان باز است (تا ابد منبسط می‌شود).
• اگر ρ=ρc​ : جهان تخت است.

پارامتر چگالی

پارامتر چگالی Ω به‌صورت نسبت چگالی واقعی (یا مشاهده‌شده) ρ به چگالی بحرانی ρc​ در جهان فریدمن تعریف می‌شود:​$$\Omega ={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\times \rho }{3H^{2}}}.$$از آنجا که هم چگالی ρ(t) و هم ثابت هابل H(t) به زمان وابسته‌اند، پارامتر چگالی نیز با زمان تغییر می‌کند.

چگالی بحرانی تقریباً معادل پنج اتم (هیدروژن تک‌اتمی) در هر متر مکعب است، در حالی که چگالی میانگین ماده معمولی در جهان حدود 0.2 تا 0.25 اتم در هر متر مکعب برآورد می‌شود.

بخش بسیار بیشتری از چگالی از ماده تاریک که ناشناخته است ناشی می‌شود، هرچند هم ماده معمولی و هم ماده تاریک هر دو به نفع انقباض جهان عمل می‌کنند. با این حال، بزرگ‌ترین سهم از آنِ چیزی است که «انرژی تاریک» نامیده می‌شود. انرژی تاریک همان مؤلفه‌ای است که در معادلات فریدمن متناظر با جمله Λ یا ثابت کیهانی قرار می‌گیرد. اگرچه چگالی کل (با دقت در حدود خطای اندازه‌گیری) برابر با چگالی بحرانی است، انرژی تاریک نه به انقباض جهان بلکه برعکس به شتاب‌گرفتن انبساط آن منجر می‌شود. در معادلات فریدمن، مادهٔ معمولی، مادهٔ تاریک و تابش به‌علت فشار صفر یا مثبتشان انبساط جهان را کند می‌کنند، در حالی‌که انرژی تاریک با فشار منفی موجب شتاب‌گرفتن انبساط می‌شود.

بیانی برای چگالی بحرانی زمانی به‌دست می‌آید که فرض کنیم Λ=0 (همان‌طور که برای همهٔ جهان‌های پایهٔ فریدمن برقرار است) و انحنای فضایی نرمال‌شده k را برابر با صفر قرار دهیم. وقتی این جایگذاری‌ها در نخستین معادله فریدمن همراه با مقدار جدید H0​ اعمال شوند، به رابطه زیر می‌رسیم:

$\rho _{\mathrm {crit} }={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}\simeq 8{,}533\cdot 10^{-27}\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}.$

فضاپیمای WMAP هندسه فضایی جهان را تقریباً تخت اندازه‌گیری کرده است. این بدان معناست که جهان را می‌توان با مدلی با پارامتر انحنای k=0 به‌خوبی تقریب زد. با این حال این نتیجه الزاماً به این معنا نیست که جهان بی‌نهایت است، بلکه ممکن است تنها بسیار بزرگ‌تر از بخشی باشد که ما مشاهده می‌کنیم.

جستارهای وابسته

• معادلات میدان اینشتین
• مشتق هموردا
• متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر
• مسئله تخت‌بودن
• تورم کیهانی
• مسئله افق
• عامل مقیاس
• ثابت کیهان شناسی

منابع

• Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. 10 (1): 377–386. Bibcode 1922ZPhy...10..377F. (German) (English translation in: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. Bibcode 1999GReGr..31.1991F.)
• Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21 (1): 326–332. Bibcode 1924ZPhy...21..326F. (German) (English translation in: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 2001–2008. Bibcode 1999GReGr..31.2001F .)
• Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, ISBN 0-19-859686-3.
• Rees, M. , Just Six Numbers, (2000) Orion Books, London, p. 81, p. 82