قضیه نگاشت باز

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» (به انگلیسی: Open mapping theorem) وجود دارد.

آنالیز تابعی[ویرایش]

در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر A : XY عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه A یک نگاشت باز است (اگر U یک مجموعه باز در X باشد، آنگاه A(U) یک مجموعه بازدر Y است).

برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود.

قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:

  • اگر A : XY یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه عملگر وارون A : YX یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
  • اگر A : XY یک عملگر خطی در فضای باناخ X و Y باشد و اگر برای هر دنباله (xn) در X با xn → ۰ و Axny تابعیت می‌کند که y = ۰، آنگاه A پیوسته است (قضیه نمودار بسته).

آنالیز مختلط[ویرایش]

در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر U یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط C باشد و f : UC یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه f یک نگاشت باز است(زیر مجموعه‌های باز U را به زیرمجموعه‌های باز C می‌نگارد).

قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را به توی بخشی از یک خط بنگارد.

برهان[ویرایش]

ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و U یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در f(U) یک نقطهٔ داخلی f(U) باشد آنگاه f(U) باز است. بنابراین اگر هر نقطه در f(U) که محتوی یک دیسک است، شامل f(U) باشد آنگاه f(U) باز است.

اطراف هر نقطه در U، یک گوی مناسب در U وجود دارد. یک z_0 دلخواه در U و نقطهٔ تصویر آن w_0 = f(z_0) را در نظر بگیرید. اگر f(z_0)-w_0 = 0 آنگاه z_0 یک ریشه تابع f(z)-w_0 است. تابع f(z)-w_0 ممکن است ریشه دیگری در فاصله d_1 از z_0 داشته باشد.فاصله از z_0 تا یک نقطه که در U نیست نوشته می‌شود d_2. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم d_1 و d_2 داخل U خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا d_1, d_2> 0.

گوی B_2 را اطراف w_0 با شعاع e و عناصر w در نظر می گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع f(z)-w_0 و f(z)-w برای هر w با فاصله e از f(z_0)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید z_1 ریشه یا یکی از ریشه‌های f(z)-w باشد. بنابراین، برای هر w در B_2، یک z_1 در B وجود دارد که f(z_1) = w، تصویر B_2 یک زیر مجموعه از تصویر B است که یک زیر مجموعه f(U) است. پس w یک نقطه درونی f(U) بای هر w دلخواه، و قضیه ثابت شده است.

منبع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Open mapping theorem (functional analysis)»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۲ فوریه ۲۰۱۴).