ماتریس وارون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر خطی یک ماتریس مربعی n×n مانند A را وارون پذیر یا نامنفرد گویند، اگر ماتریسی مانند B یافت شود که:

\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \

که In ماتریس همانی n×n است و منظور از AB ضرب ماتریسی است. اگر چنین باشد آنگاه می‌توان ماتریس B را یگانه وارون A خواند. وارون A با A−1 نمایش داده می‌شود. بنا بر نظریهٔ ماتریس‌ها اگر:

\mathbf{AB} = \mathbf{I} \

و اگر B و A ماتریس‌های مربعی باشند، آنگاه:

ماتریس‌های غیر مربعی وارون ندارند.

روش‌های محاسبهٔ ماتریس وارون[ویرایش]

روش تحلیلی[ویرایش]

نوشتار اصلی: قاعده کرامر

نوشتن ترانهادهٔ کهاد یک ماتریس (که ماتریس الحاقی نامیده می‌شود) روشی مؤثر برای محاسبهٔ معکوس ماتریس‌های کوچک است، اما برای ماتریس‌های بزرگ کاری دشوار است. برای این کار ماتریسی از کهادهای ماتریس اصلی مورد استفاده قرار می‌گیرد:

\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\mathbf{C}^{\mathrm{T}}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}
\begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\
\mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\
\end{pmatrix}

در نتیجه

\left(\mathbf{A}^{-1}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)

که در آن |A| دترمینان C، A ماتریس کهاد و CT نشان دهندهٔ ترانهاده است.

وارون ماتریس ۲×۲[ویرایش]

استفاده از فرمول کهاد که در بالا معرفی شد برای ماتریس ۲×۲ چنین نتیجه می‌دهد:[۲]

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\ 
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix}.

روش کیلی-همیلتون می‌دهد:

 
\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left[ \mathrm{tr}\mathbf{A}- \mathbf{A}\right].

وارون ماتریس ۳×۳[ویرایش]

وارون یک ماتریس ۳×۳ بدین صورت محاسبه می‌شود:

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, B & \,C \\ \, D & \, E & \, F \\ \, G & \, H & \, I\\
\end{bmatrix}^T =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, I\\
\end{bmatrix}

که در آن دترمینان A چنین بدست می‌آید:

\det(\mathbf{A}) = a(ei-fh)-b(id-fg)+c(dh-eg).

اگر دترمینان غیر صفر باشد، ماتریس وارون‌پذیر است. عناصر ماتریس سمت راست بالا از این قراراند:

\begin{matrix}
A = (ei-fh)  & D = -(bi-ch) & G = (bf-ce)  \\
B = -(di-fg) & E = (ai-cg)  & H = -(af-cd) \\
C = (dh-eg)  & F = -(ah-bg) & I = (ae-bd)  \\
\end{matrix}

روش کیلی-همیلتون می‌دهد:


\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left[ \frac{1}{2}\left( (\mathrm{tr}\mathbf{A})^{2}-\mathrm{tr}\mathbf{A}^{2}\right) -\mathbf{A}\mathrm{tr}\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}\right].


پیوند به بیرون[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. انتشارات دانشگاه کمبریج. p. 14. ISBN 978-0-521-38632-6. .
  2. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd ed.). SIAM. p. 71. ISBN 0-9614088-9-8. , Chapter 2, page 71

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Invertible matrix»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۸ مارس ۲۰۱۴).