پوش محدب

پوش محدب: مثال کِش.

پوش محدب (به انگلیسی: convex hull)‏ یک مجموعه از نقاط صفحه، کوچکترین چند ضلعی محدبی است که تمامی نقاط، درون آن یا بر روی محیط آن قرار داشته باشند.

برای این که تصور بهتری از پوش محدب به دست آورید، نقاط صفحه را مانند میخ هایی در نظر بگیرید که به دیوار کوبیده شده اند.حال کش تنگی را درنظر بگیرید که همه میخ‌ها را احاطه کرده است. در این صورت پوش محدب نقاط شکلی خواهد بود که کش به خود می‌گیرد.

الگوریتم هایی جهت یافتن پوش محدب

ما در این قسمت دو الگوریتم برای یافتن پوش محدب مجموعه‌ای از نقاط ارائه خواهیم داد.خروجی هر دوی این الگوریتمها رئوس پوش محدب در جهت پادساعتگرد خواهد بود.

الگوریتم پیمایش گراهام

مجموعه نقاط ورودی را Q در نظر بگیرید.الگوریتم پیمایش گراهام(به انگلیسی: Grham's Scan)‏ با در نظر گرفتن یک پشته از نقاط کاندید، پوش محدب را پیدا می‌کند(ما این پشته راs می نامیم).در این روش همه نقاط یک بار در پشته اضافه می‌شوند و نقاطی که بر روی محیط پوش محدب قرار ندارند در نهایت از پشته حذف می‌شوند ودر نتیجه در پایان الگوریتم مجموعه نقاطی که در s قرار دارند همان رئوس پوش محدب است.

شبه کد زیر الگوریتم پیمایش گراهام را پیاده سازی می‌کند.

1 let p[0] be the point in Q with the minimum y-coordinate
or the left most such point in case of a tie
2 letp[1],p[2],...,p[m] be the remaining points in Q,
sorted by polar angle in counterclockwise order around p[0]
(if more than one point has the same angle, remove all but
the one that is farthest from p0)
3 PUSH(p[0], S)
4 PUSH(p[0],S)
5 PUSH(p[2],S)
6 for i ← 3 to m
7 do while the angle formed by points NEXT-TO-TOP(S), TOP(S),
and p[i] makes a nonleft turn
8 do POP(S)
9 PUSH(p[i],S)
10 return S

در خط 1 این کد ابتدا از بین نقاط Q نقطه‌ای را که کمترین مختصه y را دارد انتخاب می‌کند و آن را $p_0$ می نامد. و سپس در خط 2 نقاط باقیمانده را نسبت به زاویهٔ قطبی آن‌ها نسبت به $p_0$ مرتب می‌کند. در این مرتب سازی در صورتی که دو نقطه زاویه برابری داشتند آن نقطه‌ای را که فاصله کمتری تا $p_0$ دارد را حذف می‌کند و در پایان نقاط مرتب شده را درآرایهٔ p قرار می‌دهد و نقاط $p_0$ و $p_1$ و $p_2$ را به پشته s اضافه می‌کند. در خطوط 6 تا 10 که در واقع قسمت اصلی الگوریتم است یک بار کل نقاط s را پرمایش می‌کند. در هر مرحله به ازای هر نقطه $p_i$ تا زمانی که زاویه بین دو نفر آخر پشته s و $p_i$ بیش از 180 درجه باشد نفر آخر پشته را حذف می‌کند.

پیچیدگی الگوریتم پیمایش گراهام

در این جا نشان می دهیم که زمان اجرای الگوریتم گراهام از $O(nlog n)\,\!$ است. خط 1 الگوریتم زمان $O(n)\,\!$ را مصرف می‌کند چون یک جستجوی ساده بر روی نقاط است. خط 2 الگوریتم را در صورتی که با الگوریتم مرتب‌سازی ادغامی پیاده سازی کنیم در زمان $O(nlog n)\,\!$ اجرا شود. در قسمت‌های بعد نیز ما فقط با پشته s کار می کنیم وچون هر نقطه دقیقا یک بار به پشته اضافه می‌شد و حداکثر یک بار از آن حذف می‌شود پس بقیه کد نیز در زمان $O(n)\,\!$ اجرا می‌شود پس در کل الگوریتم پیمایش گراهام در زمان $O(nlog n)\,\!$ اجرا می‌شود.

الگوریتمJarvis's march

نمونه‌ای از فرآیند اجرای الگوریتمJarvis's march.

Jarvis's march از روشی به نام بسته بندی بسته(به انگلیسی: package wrapping)‏برای یافتن پوش محدب مجموعه Q از نقاط صفحه استفاده می‌کند. این الگوریتم به این صورت عمل می‌کند که ابتدا نقاط را بر اساس مختص Yشان مرتب کرده ودر صورتی که Y برابری داشته باشد بر اساس X آنها را مرتب می‌کند و در آرایهٔ P نگه می‌دارد. در این صورت نقطه $p[0]$ حتماً یکی از نقاط پوش محدب است. پس آن را در یک آرایه به نام C وارد می‌کند. حال از بین سایر نقاط نقطه‌ای را پیدا می‌کند که کمترین زاویهٔ قطبی را وابسته به نقطه $p[0]$ دارد و آن را نیز در آرایهٔ C اضافه می‌کند و همین فرآیند را برای نقطه $p[1]$ تکرار می‌کند تا این که به آخرین نقطه آرایهٔ p برسد. به مجموعه کنونی که در C قرار دارد زنجیره راست (به انگلیسی: right chain)‏ می‌گوییم. برای ساختن زنجیره چپ (به انگلیسی: left chain)‏ از $p[n]$ (آخرین نقطهٔ مجموعه P)شروع کردهودوباره نقطه‌ای را انتخاب می‌کنیم که نسبت به $p[n]$ کمترین زاویه قطبی را دارد اما این بار نسبت به قسمت منفی محور X و آن نقطه را نیز به مجموعهٔ C اضافه می‌کنیم و این کار را برای این نقطه تکرار می‌کنیم تا به نقطه $p[0]$ اولیه بر گردیم. در این صورت مجموعه C ساخته شده همان پوش محدب مورد نظر است.

پیچیدگی الگوریتم

این الگوریتم از $O(nh)\,\!$است که در آن n تعداد نقاط است و h تعداد رئوس پوش محدب است. زیرا به ازای هر کدام از رئوس پوش محدب یک بار هر یک از نقاط را با عملی از $O(1)\,\!$ چک می‌کنیم.

منابع

• UDI MANBER, دانشگاه آریزونا. مقدمه‌ای بر الگوریتم‌ها. 
• توماس اچ کورمن, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and کلیفورد استین. مقدمه‌ای بر الگوریتم‌ها. second ed. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-53196-8.