ضرب ماتریس

در جبر خطی ضرب ماتریس به عملیات ضرب یک ماتریس با یک کمیت نرده‌ای یا یک ماتریس دیگر گفته میشود. در این مقاله سعی شده است تا نگاهی به انواع مختلف ضرب ماتریسی داشته باشیم.

ضرب معمولی ماتریس‌ها

ضرب معمولی ماتریس‌ها رایج‌ترین نوع ضرب در ماتریس‌هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب یک ماتریس m-در-n در یک ماتریس n-در-p یک ماتریس m-در-p است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس‌ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند (مانند m-در-n، n-در-p، p-در-q، q-در-r) بُعد ماتریس حاصلضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون‌های آخرین ماتریس می‌آید (مثلا در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب m-در-r خواهد بود). توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.

ضرب معمولی به این صورت تعریف می‌شود

$\overset{3\times 4 \text{ matrix}}{\begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \color{Blue} 1 & \color{Blue} 2 & \color{Blue} 3 & \color{Blue} 4 \\ \end{bmatrix}} \overset{4\times 5\text{ matrix}}{\begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}a & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}b & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}c & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}d & \cdot \\ \end{bmatrix}} = \overset{3\times 5\text{ matrix}}{ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & x_{3,4} & \cdot \\ \end{bmatrix}}$

که در آن درایه $x_{3,4}$ برابر است با :

$x_{3,4} = ({\color{Blue}1}, {\color{Blue}2}, {\color{Blue}3}, {\color{Blue}4})\cdot ({\color{Red}a}, {\color{Red}b}, {\color{Red}c}, {\color{Red}d}) = {\color{Blue} 1}\times{\color{Red} a} +{\color{Blue} 2}\times{\color{Red} b} +{\color{Blue} 3}\times{\color{Red} c} +{\color{Blue} 4}\times{\color{Red} d}$.

برای به یادسپاری این موضوع می‌توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که سطر اول در ستون اول درایه اول و یا به صورت کلی‌تر سطر mم در ستون nم درایه mnم.

نمایش فرمولی

فرض کنید برای $A \in F^{m \times n}$ و $B \in F^{n \times p}$ در میدان $F$ که $(AB) \in F^{m \times p}$، درایه‌های AB به صورت زیر بدست می‌آیند :

$(AB)_{i,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}$

در اینجا i و j را اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم که $1 \le j \le n$ و $1 \le i \le m$.

رابطه ضرب معمولی با ضرب داخلی و ضرب خارجی

ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو بردار ستونی $A$ و $B$ به صورت $A\cdot B = A^TB$ می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر :

$A\cdot B = A^TB = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \end{bmatrix}.$.

ضرب خارجی به صورت $A\otimes B = AB^T$ تعریف می‌شود که:

$AB^T = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \\ \end{bmatrix}.$

ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیه‌ی ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم :

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} {\color{Red} a_{1,1}} & {\color{Red}a_{1, 2}} & \cdots & {\color{Red} a_{1, n}} \\ {\color{ForestGreen} a_{2,1}} & {\color{ForestGreen} a_{2, 2}} & \cdots & {\color{ForestGreen} a_{2, n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\color{Blue} a_{m, 1}} & {\color{Blue} a_{m, 2}} & \cdots & {\color{Blue} a_{m, n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{Red} A_1} \\ {\color{ForestGreen} A_2} \\ \vdots \\ {\color{Blue} A_m} \end{bmatrix}$

$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} {\color{Red}b_{1,1}} & {\color{ForestGreen}b_{1, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{1, p}} \\ {\color{Red}b_{2,1}} & {\color{ForestGreen}b_{2, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{2, p}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\color{Red}b_{n, 1}} & {\color{ForestGreen}b_{n, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{n, p}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{Red} B_1} & {\color{ForestGreen} B_2} & \cdots & {\color{Blue} B_p} \end{bmatrix}$

که در اینجا $A_i = \begin{bmatrix}a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \end{bmatrix}$ و $B_i = \begin{bmatrix}b_{1, i} & b_{2, i} & \cdots & b_{n, i}\end{bmatrix}^T.$ می‌باشند.

ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود :

$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & \dots & B_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (A_1 \cdot B_1) & (A_1 \cdot B_2) & \dots & (A_1 \cdot B_p) \\ (A_2 \cdot B_1) & (A_2 \cdot B_2) & \dots & (A_2 \cdot B_p) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (A_m \cdot B_1) & (A_m \cdot B_2) & \dots & (A_m \cdot B_p) \end{bmatrix} .$

ویژگی‌ها

• ضرب ماتریسی خاصیت جابجایی ندارد.

$AB \ne BA$

• اگر A و B دو ماتریس n-در-n باشند، دترمینان حاصلضرب به اولویت شرکت آنها در ضرب بستگی ندارد.

$\;\!\det(AB) = \det(BA)$

• اگر هر دو ماتریس قطری مربعی با ابعاد مشابه باشند، ضرب آنها جابجایی است.
• ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر است:

$\ \mathbf{A} ( \mathbf{B C} ) = ( \mathbf{A B} ) \mathbf{C}$

• ضرب ماتریسی بروی جمع پخش می‌شود:

$\ \mathbf{A} ( \mathbf{B} + \mathbf{C} ) = \mathbf{A B} + \mathbf{AC}$

$\ ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) \mathbf{C} = \mathbf{A C} + \mathbf{B C}$.

• اگر ماتریس را تحت یک میدان (برای مثال میدان‌های حقیقی یا مختلط) تعریف کنیم، آنگاه تحت هر اسکالر از آن میدان جابجایی خواهد بود:

$\ c ( \mathbf{A B} ) = ( c \mathbf{A} ) \mathbf{B}$

$\ ( \mathbf{A} c ) \mathbf{B} = \mathbf{A} ( c \mathbf{B} )$

$\ ( \mathbf{A B} ) c = \mathbf{A} ( \mathbf{B} c )$

در اینجا c یک اسکالر از میدان مربوطه‌است.

ضرب اسکالر در ماتریس

ضرب اسکالر r در یک ماتریس A به این صورت تعریف می‌شود:

$(r\mathbf{A})_{ij} = r \cdot a_{ij}. \,$

برای مثال اگر :

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

در نتیجه

$r \cdot \mathbf{A}=\begin{bmatrix} r \cdot a & r \cdot b \\ r \cdot c & r \cdot d \end{bmatrix}$