نرم (ریاضیات)

تابع حقیقی $\|.\|$ تعریف شده بر فضای برداری $X$ را نُرم نامیم اگر در سه خاصیت زیر صدق کند:

1. به ازای هر $x\in X$، $\|x\|\ge0$، و $\|x\|=0$ اگر و فقط اگر $x=0$
2. به ازای هر $x$ و $\alpha\in\mathbb R$، $\|\alpha x\|=|\alpha| \|x\|$
3. به ازای هر $y\in X$ و $x$، $\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ (نابرابری مثلثی)

اگر خاصیت اول از تعریف نرم را حذف کنیم، تابع جدیدی به دست می‌آید که به آن نیم‌نرم می‌گوییم.

فضای برداری $X$ مجهز به نرم $\|.\|$ را یک فضای برداری نرم‌دار می‌نامیم. از آنجایی که دامنهٔ تعریف نرم، فضایی برداری است، بسته به اینکه اعضای فضای برداری چه باشند، نرم ممکن است برای بردار، ماتریس، یا تابع، تعریف شود. ورودی نرم، عضوهای فضای برداری و خروجی آن عدد حقیقی مثبتی است پس برد هر نرم، مجموعه اعداد حقیقی مثبت می‌باشد. هر نرم در فضای برداری تعریف شده بر آن، متری القا می‌کند. بنابراین هر فضای نرم‌دار، یک فضای برداری متری است.

انواع نرم

p–نرم

فرض کنید $1\le p<\infty$ باشد، p–نرم به صورت زیر تعریف می شود:

$\|\mathbf{x}\|_p := \bigg( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \bigg)^{1/p}.$

خواص

نمایش تصویری دایره واحد در نرم‌های مختلف برداری.

منابع

• علی‌پرانتز، کارلامبوس دی. و اون بورکین‌شاو. اصول آنالیز حقیقی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ اول. تهران: آینده دیگر، ۱۳۸۶. شابک ‎۹۶۴-۸۸۷۹-۲۰-۶. 
• اتکینسن، کندال ای.. آشنایی با آنالیز عددی. ترجمهٔ علی دانایی. چاپ اول. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۲۹۳-۹. 
• رودین، والتر. آآنالیز تابعی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ اول. تهران: علوم نوین، ۱۳۸۲. شابک ‎۹۶۴-۶۱۳۳-۴۵-۲.