اشتراک (مجموعه)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها مینامیم و آن را با نماد ∩ نشان میدهیم مثل : A∩B

تعریف[ویرایش]

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و X\in S عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با \bigcap S یا \bigcap_{A\in S}A نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\bigcap S := \bigcap_{A\in S}A := \{y\in X: \forall A\in S, y\in A\}

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود \bigcap\phi := U.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با A\cap B نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با A\cap B\cap C،... و اشتراک n مجموعه A_1,A_2,\cdots,A_n را با A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

A_1\cap A_2\cap\cdots A_n = (A_1\cap A_2\cap\cdots A_{n-1})\cap A_n

خواص اشتراک[ویرایش]

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با A\cup B نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

A\cap A = A
A\cap B = B\cap A
A\cap \phi = \phi\cap A = \phi
(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)
A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)
A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)
A\subseteq B اگر و تنها اگر A\cap B = A.

منابع[ویرایش]

  • Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977. ISBN 7-238440-12-0
عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگترین مقسوم علیه مشترک
کوچکترین مضرب مشترک

ترکیباتی

( ) ضریب بینم
A جایگشت

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

برداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر