نابرابری کوشی–شوارتز

نابرابری کوشی-شوارتز (به انگلیسی: Cauchy–Schwarz inequality)‏ یا نابرابری بانیاکوفسکی یک نابرابری پراستفاده در ریاضیات است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابری

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

$|\langle x,y\rangle| ^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

که در آن $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ضرب داخلی است. همچینین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به نرم بردارها، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\,$

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

به علاوه اگر $x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C$ و $y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C$ اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهنده‌ی مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

$|x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).$