ترکیب تابع

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع

فرض کنید g:X→Y و f:Y→Z دو تابع باشند. در این صورت برای هر x∈X، داریم g(x)∈Y و لذا (g(x در دامنه تابع f قرار می‌گیرد و لذا

f(g(x))∈Z. کاری که انجام دادیم این بود که ابتدا x∈X را توسط تابع g به عضوی از مجموعه Y متناظر کردیم و عضو حاصله در Y را به‌وسیله تابع f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. به این ترتیب می‌توان گفت عضو x را توسط دو تابع g,f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. این کار را می‌توان به طور مستقیم نیز انجام داد.

برای این منظور تابع h:X→Z را برای هر x متعلق به مجموعه X، به صورت ((h(x)=f(g(x تعریف می‌کنیم. چنین تابعی را ترکیب تابع g و f می‌گوییم و آن را با f∘g (بخوانید f صفر g یا افِ جی) نشان می‌دهیم.

با توجه به آنچه بیان شد تابع f∘g را می‌توان به صورت زیر نیز تعریف کرد:

fog = \left\{ {\left( {x,z} \right) \in X \times Y:\exists y\left( {y \in Y \wedge \left( {x,y} \right) \in g \wedge \left( {y,z} \right) \in f} \right)} \right\}

توجه داشته باشید که در حالت کلی ترکیب توابع جابجایی نمی‌باشد یعنی همواره رابطه fog=gof برقرار نمی‌باشد.

به عنوان مثال اگر f:RR با ضابطه f(x)=x3 و g:RR باضابطه g(x)=lnx باشد در این صورت، داریم:

(fog)(x)=f(g(x))=f(\ln x)=(\ln x)^3
(gof)(x)=g(f(x))=g(x^3)=\ln (x)^3=3 \ln x

خواص[ویرایش]

یک اشتباه[ویرایش]

قبل ها به اشتباه "ترکیب دو تابع" به صورت fog(اف اُ جی) نوشته میشد حتی در کتاب های درسی اما درست آن به صورت f∘g است.