ترکیب تابع

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع

فرض کنید g:X→Y و f:Y→Z دو تابع باشند. در این صورت برای هر x∈X، داریم g(x)∈Y و لذا (g(x در دامنه تابع f قرار می‌گیرد و لذا

f(g(x))∈Z. کاری که انجام دادیم این بود که ابتدا x∈X را توسط تابع g به عضوی از مجموعه Y متناظر کردیم و عضو حاصله در Y را به‌وسیله تابع f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. به این ترتیب می‌توان گفت عضو x را توسط دو تابع g,f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. این کار را می‌توان به طور مستقیم نیز انجام داد.

برای این منظور تابع h:X→Z را برای هر x متعلق به مجموعه X، به صورت ((h(x)=f(g(x تعریف می‌کنیم. چنین تابعی را ترکیب تابع g و f می‌گوییم و آن را با fog (بخوانید f اُ g) نشان می‌دهیم.

با توجه به آنچه بیان شد تابع fog را می‌توان به صورت زیر نیز تعریف کرد:

$fog = \left\{ {\left( {x,z} \right) \in X \times Y:\exists y\left( {y \in Y \wedge \left( {x,y} \right) \in g \wedge \left( {y,z} \right) \in f} \right)} \right\}$