ترکیب تابع

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع

در ریاضیات، ترکیب تابع یک نگاشت نقطه به نقطه از یک تابع به تابعی دیگر است برای تولید تابعی سوم. برای مثال دو تابع f : XY و تابع g : YZ می توانند ترکیب شوند و حاصل تابعی خواهد بود که مقدار x در X را به مقدار g(f(x)) در Z نگاشت می کند. به طور شهودی، اگر z حاصل تابع g از y باشد و y حاصل تابع f از x باشد، بنابراین z حاصل تابعی از x است.

تابع حاصل که به صورت g ∘ f : XZ نماد می شود -که در بسیاری از منابع شامل این مقاله به صورت g ∘ f : XY نیز نوشته می شود- برای تمام xهای عضو X به صورت (g ∘ f )(x) = g(f(x)) تعریف می شود. نماد g ∘ f به صورت های "g در دایره g"، "f دور f"، "ترکیب g با g"، "f بعد از g"، "f به دنبال f" و "g ی f" نیز خوانده می شود.
مشتق ترکیب توابع مشتق پذیر از طریق قاعده زنجیره ای بدست می آید. مشتق های مراتب بالاتر از چنین توابعی از رابطه ی فادی برونو به دست می آیند.

ترکیب دو تابع حقیقی. تابع قدر مطلق و تابع درجه سه. که در ترتیب های متفاوت، نشان دهنده ی عدم خاصیت جابه‌جایی اند.

خواص[ویرایش]

ترکیب تابع همیشه شرکت پذیر است. به این معنا که اگر g، f و h سه تابع با دامنه و برد مناسب باشند، در اینصورت f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h، که در اینجا پرانتز به این معناست که عمل ترکیب ابتدا بر روی دو تابع داخل پرانتز صورت می گیرد. بنابراین چون محل قرارگیری پرانتزها در حاصل نهایی ترکیب تاثیری ندارد، می توان آنها را بدون پیش آمد هیچ ابهامی حذف کرد.

گفته می شود دو تابع f و g با یکدیگر خاصیت جابه‌جایی دارند اگر g ∘ f = f ∘ g. در کل، ترکیب توابع تعویض پذیر نخواهند بود. تعویض پذیری یک خاصیت ویژه است که توابع مخصوصی دارای آن می باشند و در موقعیت های خاص اتفاق می افتد. برای مثال، |x| + 3 = |x + 3| فقط زمانی صادق است که x ≥ 0 .


مثال[ویرایش]

به عنوان مثال فرض کنید ارتفاع یک هواپیما در زمان t توسط تابع h(t) تعیین می شود، و تراکم اکسیژن درون هواپیما در ارتفاع x توسط تابع c(x) تعیین می شود. بنابراین تابع ((ch)(t) میزان تراکم اکسیژن درون هواپیما در زمان t را تعریف می کند.

به توان رسیدن توابع[ویرایش]

مقاله اصلی: تابع مکرر
اگر Y \subseteq X ، تابع f\colon X\rightarrow Y می تواند با خودش ترکیب شود. این ترکیب در بعضی مواقع با f 2 نشان داده می شود. بنابراین:

(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)
(f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)

ترکیب بیش از یک بار یک تابع با خودش، تابع مکرر نامیده می شود.

خواص ترکیب تابع:

  • f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1} برای n های طبیعی
  • بنابر تعریف: f^0= id_{D(f)} (تابع همانی در دامنه ی f)
  • اگر تابع f\colon X\rightarrow X، تابع وارون داشته باشد، توان های منفی تابع f^{-k}\, (k>0)، به صورت توان تابع وارون f تعریف می شوند.

نکته: اگر تابع f مقادیر خود را در یک حلقه بگیرد (به خصوص برای f های حقیقی یا مختلط)، ممکن است اشتباه پیش آید، چرا که fn به معنای ضرب n بار f در خودش نیز می باشد. (مثال f 2(x) = f(x) · f(x) ) برای توابع مثلثاتی، معمولا دومی مد نطر است (حداقل برای توان های مثبت) . برای مثال در مثلثات، نماد اندیس بالایی وقتی برای توابع مثلثاتی به کار می رود به معنای به توان رسیدن معمولی است، مثلا: sin2(x) = sin(x) · sin(x). در عین حال برای توان های منفی (به خصوص −1) معمولا به وارون تابع اشاره می کند. مثلا: tan−1 = arctan (≠ 1/tan).

در بعضی مواقع، یک عبارت برای f از g(x) = f r(x) می توان به دست آورد اگر مقادیر r غیر صحیح باشند. این مضمون مکرر کسری نام دارد. برای مثال مکرر تابع f تابعی مانند g است که در رابطه ی g(g(x)) = f(x) صدق کند. در مثالی دیگر، اگر f تابع جانشین باشد، fr(x) = x + r .

این ایده می تواند به این صورت عمومی سازی شود که شمارش مکررسازی یک پارامتر مداوم شود. این سیستم یک جریان نام دارد، که توسط راه حل های معادله ی شرودر مشخص می شود. توابع مکرر و جریان ها به طور معمول در مطالعه ی فراکتال ها و سیستم های دینامیک ظاهر می شوند.

تکوارهای ترکیب[ویرایش]

مقاله اصلی: تکوارهای دگرگونی
فرض کنیم f: XX, g: XX دو تابع با دامنه و برد برابر باشند. می توان رشته های بلند و بالقوه پیچیده ای از ترکیب این دو تابع تولید کرد، مثل ffgf. چنین رشته هایی ساختمان جبری یک تکوار را دارا می باشند، و یک تکوار دگرگونی نامیده می شوند. در کل، تکوارهای ترکیب، می توانند دارای ساختمان های بسیار پیچیده باشند. یک مثال خاص در این مورد منحنی د رام است. مجموعه ی تمام توابع f: XX، یک نیم گروه کامل دگرگونی بر روی X نامیده می شود.

اگر توابع دوسو باشند، مجموعه ی تمام ترکیب های ممکن از این توابع، تشکیل یک گروه دگرگونی می دهند؛ و گفته می شود که این گروه از این توابع به دست آمده است.

مجموعه ی تمام توابع دوسوی f: XX، یک گروه نسبت به عملگر ترکیب می سازد که گروه متقارن یا گاهی گروه ترکیب نامیده می شود.

نماد گذاری های جایگزین[ویرایش]

  • بسیاری از ریاضی دانان نماد ترکیب را حذف می کنند، و به جای gf، می نویسند gf.
  • در اواسط قرن بیستم، بعضی از ریاضی دانان تصمیم گرفتند که نوشتن "gf" به این معنا که ابتدا f اعمال شود و سپس g، زیادی گیج کننده است. آنها "xf" را به جای "f(x)" و "(xf )g" را به جای "g(f(x))" می نوشتند. این کار می تواند در بعضی موارد طبیعی تر و ساده تر از نوشتن تابع در سمت چپ به نظر برسد – مثلا در جبر خطی، وقتی x یک بردار خطی باشد، و f و g دو ماتریس باشند و ترکیب آنها به معنای ضرب ماتریسی باشد. این نمادگذاری جایگزین، نمادگذاری پسوند نام دارد. ترتیب در اینجا اهمیت دارد زیرا ضرب ماتریس ها جا به جایی پذیر نیست.
  • ریاضی دانانی که از نمادگذاری پسوند استفاده می کنند، ممکن است از عبارت "fg" به معنای "اول f را اعمال کن و سپس g" استفاده کنند که باعث به وجود آمدن ابهام میشود. دانشمندان علوم کامپیوتر برای رفع این ابهام از عبارت "f;g" بهره می گیرند.

عملگر ترکیب[ویرایش]

مقاله اصلی: عملگر ترکیب
با استفاده از تابع g، عملگر ترکیب Cg به صورت عملگری تعریف می شود که توابع را به هم مربوط می کند.

C_g f = f \circ g.

عملگرهای ترکیب در رشته ی نظریه عملگرها مطالعه می شوند.

عمومی سازی ها[ویرایش]

ساختمان ترکیب تابع در نظریه رده ها و با مفهوم مورفیزم، به عنوان جایگزین رده ای-تئوری توابع، اصل گذاری شده است.
ترکیب برای توابع چند متغیره نیز امکان پذیر است. تابع به دست آمده هنگامی که g جایگزین متغیر xi از تابع f می شود، یک ترکیب f و g نامیده می شود و به صورت f |xi = g نمادگذاری می شود.

f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).

هنگامی که g یک ثابت ساده ی b باشد، ترکیب به صورت یک ارزه (ی ناقص) در می آید، که نتیجه ی آن به عنوان یک محدودیت یا یک عامل کمکی شناخته شده است.

f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).