مرکز جرم
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
 |
در متن این مقاله از هیچ منبع و مأخذی نام برده نشدهاست. شما میتوانید با افزودن منابع بر طبق اصول اثباتپذیری و شیوهنامهٔ ارجاع به منابع، به ویکیپدیا کمک کنید. مطالب بیمنبع احتمالاً در آینده حذف خواهند شد. |
مرکز جرم یک سیستم از ذرات، در فیزیک، نقطهٔ مشخصی است که در بسیاری از مسائل سیستم طوری رفتار میکند که گویی همه جرم آن در آن نقطه متمرکز است. مرکز جرم فقط تابعی از جای و جرم ذراتی است که سیستم را تشکیل میدهند.
در صورتی که ذرات سیستم تا حدودی آزادانه در منار هم باشتد، مثل مجموعه شاچمههایی که از تفنگ ساچمهای شلیک شده، مرکز جرم نقطهای در فضا و بین گلولهها است که ممکن است روی هیچ کدام از آن گلولهها واقع نباشد.
مرکز جرم یک جسم همیشه روی مرکز هندسی آن نیست. و نقطهٔ دیگری میتواند مرکز جرم جسم باشد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] تعریف
مرکز جرم (R) یک سیستم از ذرات میانگین وزندار مکانهای آن ذرات (ri) است.
R = ∑ mi ri ∕ ∑ mi
برای توزیع پیوسته با جرم، چگالی ((r)ρ) و جرم کل ؛ مجموع میشود یک انتگرال:
اگر یک جسم چگالی اش را متراکم کند، مرکز جرمش همان مرکز ثقلش خواهد بود.
[ویرایش] مثالها
- مرکز جرم یک سیستم دو ذره ای روی خط واصل آن دو ذره قرار دارد. (یا دقیقتر مرکز جرمهای فردی آنها)مرکز جرم نزدیکتر است به جسم سنگینتر.
- مرکز جرم یک حلقه در مرکز آن حلقه است. (در هوا)
- مرکز جرم یک هرم روی هر سه میانه قرار میگیرد. و بنابر این روی مرکز ثقل -که همچنین میانگین سه راس است- قرار میگیرد.
- مرکز جرم یک مستطیل روی تقاطع دو قطر است.
- در یک جسم کروی منظم، مرکز جرم در مرکز قرار دارد. این تقریبا شامل کره ی زمین هم میشود؛ با اینکه غلظت به طور قابل توجهی تغییر میکند. ولی عمدتا و تا حد کمی به مختصات دیگر بستگی دارد.
- بطور کلی برای هر قرینه از یک جسم، مرکز جرم آن، یک نقطه ی ثابت خواهد بود از آن قرینه.
[ویرایش] تاریخچه
مفهوم مرکز ثقل را اولین بار ارشمیدس مطرح شد. ارشمیدس نشان داد که نیروی پیچشی (گشتاور) اعمال شده روی یک اهرم به وسیله قرار دادن وزنهها روی نقاط گوناگون در امتداد اهرم همان نیرویی است که به اهرم وارد میشد اگر اگر تمام وزنهها روی یک نقطه قرار میگرفت-مرکز ثقل آنها-. در مورد حرکت اجسام شناور روی آب او نشان داد که جهت جسم شناور جهتی است که مرکز ثقل جسم را کمتر میکند. (مرکز ثقل جسم در آن جهت کمتر است.) او تکنیکهای ریاضی را بسط داد برای پیدا کردن مراکز ثقل اجسام دارای چگالی یکنواخت_ اشکال_خوش تعریف. به ویژه یک مثلث و یک نیمکره و یک مخروط یا هرم _ناقص_یک قطع مخروطی دایروی.
در قرون وسطی تئوریهای راجع به مرکز ثقل بیشتر توسعه داده شد توسط ابوریحان بیرونی، رازی، عمر خیام و خزینی.
[ویرایش] حرکت
معادلات حرکت زیر بر پایه ی این فرض بنا شده اند که یک سیستم از ذرات وجود دارد که به وسیله ی نیروهای داخلی و خارجی کنترل شده است. یک نیروی داخلی نیرویی است که به وسیله ی فعل و انفعالات ذرات داخل سیستم ایجاد شده است. و یک نیروی خارجی نیرویی است که از خارج از سیستم سرچشمه میگیرد و عمل میکند روی یک یا چند ذره داخل سیستم. نیروی خارجی لازم نیست حتما ناشی از یک جسم یکنواخت باشد. برای هر سیستمی که هیچ نیروی خارجی به آن وارد نمیشود، مرکز جرم با سرعت ثابت حرکت میکند. این قانون برای همه ی سیستمها با نیروهای داخلی کلاسیک شامل میدانهای مغناطیسی، میدانهای الکتریکی، واکنشهای شیمیایی و غیره به کار برده میشود. به عبارت دیگر این قانون درست است برای هر نیروی داخلی که صورت ضعیف قانون سوم نیوتون در آن صدق میکند. نیروی حرکت آنی مجموع برای هر سیستم از ذرات به وسیله ی فرمول زیر داده شده است:
P=MVcm
جاییکه M نماد جرم کل وVcm سرعت مرکز جرم باشد. این سرعت میتواند محاسبه شود به وسیله ی اندازه گیری زمان گرفته شده از مکان مرکز جرم. یک فرمول شبیه به قانون دوم نیوتون هست : F=Macm
وقتی F نماد مجموع تمام نیروهای خارجی باشد و acm نمادی باشد برای شتاب مرکز جرم.
[ویرایش] دوران و مراکز ثقل
مرکز جرم معمولا مرکز ثقل هم گفته میشود، چرا که هر میدان یکپارچه ی گرانشی(g) روی هر سیستمی طوری عمل میکند که گویی جرم آن سیستم متمرکز روی مرکز جرمش (R) است. این حداقل در دو طریق قابل مشاهده است:
- انرژی پتانسیل گرانشی یک سیستم برابر است با انرژی پتانسیل یک ذره ی نقطه ای دارای جرم کل M، که در Rقرار دارد.
- گشتاور گرانشی روی یک سیستم برابر است با یک گشتاور نیروی Mg که در R عمل میکند.
R × Mg = ∑ mi ri × g
مرکز جرم گاهی مرکز ثقل هم گفته میشود. به دلیل اینکه، در بسیاری موارد، احتمال دارد گرانش به نظر یکنواخت بیاید. در مورد یک جسم بسیار بزرگ نیروهای نابرابر (ناموازی) قابل توجه(حائز اهمیت) است. پس مرکز ثقل جاییکه یکی باید نیروی برابر اعمال کند کمی از مرکز جرم منحرف میشود. این است دلیل تمایز میان مرکز جرم و مرکز ثقل.
نویسندگان پیشین کمتر دقت میکردند. در حالیکه گرانش یکنواخت نیست. "مرکز ثقل" از مرکز جرم منحرف میشود. این عادت به نظر میآید که به یک مرکز ثقل خوش تعریف برای زمینههای غیر یکنواخت دلالت کند. ولی چنین چیزی وجود ندارد. حتی وقتی روی نیروهای جزر و مدی (کشنده) در سیارات کار میشود کافی است استفاده از مرکز برای پیدا کردن حرکت همه چیز. برای تکرار برای زمینههای غیر یکنواخت(متحد)، حقیقتا یک چیز نمیتواند در مورد مرکز جرم صحبت کند.
