تابع دوسویی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
یک تناظر یک‌به‌یک

در ریاضیات، دوتاب یا تابع دوتابا یا تابع دوسویی ( همچنین تناظر یک به یک) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقاً یک عضو از مجموعه دیگر همنگار شده باشد. در هیچ‌کدام از مجموعه‌ها هیچ عضو بدون جفتی وجود ندارد.

هر تابع دوسویی از مجموعهٔ X به مجموعه‌ی Y دارای یک تابع وارون از Y به X است. اگر این دو مجموعه متناهی باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهنده‌ی این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است. در مورد مجموعه‌های نامتناهی این دوتاب سبب به وجود آمدن مفهوم اعداد کاردینال شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند.

هر تابع دوتابا از یک مجموعه به خود آن مجموعه جایگشت نام دارد.

توابع دوتابا برای بسیاری از مباحث ریاضی ابزاری ضروری هستند. برای نمونه: تعاریف یک‌ریختی و همسان‌ریختی.

تعریف[ویرایش]

برای این که تابع f از مجموعه‌ی X و به مجموعه‌ی Y دوتابا باشد باید دو شرط زیر برقرار باشند:

  1. هر عضو مجموعه‌ی X باید یک عضو مجموعه‌ی Y را رهنگاری(map) کند،
  2. هر عضو مجموعه‌ی Y باید به وسیله‌ی یک عضو مجموعه‌ی X رهنگاری شده باشد (تصویر یک عضو دامنه باشد)


نمونه[ویرایش]

معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با رهنگار کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد:

  1. تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)،
  2. هیچ دانش‌آموزی روی بیش از یک صندلی ننشسته است.
  3. تمام صندلی‌ها پر هستند و
  4. روی هیچ صندلی بیش از یک نفر ننشسته است.

پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها دوتاب برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است.

نمونه‌ی دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با رهنگار کردن هر بازیکن با جایگاهش دوتاب به دست می‌آید.

نمونه‌های ریاضی توابع دوتابا و توابع نادوتابا[ویرایش]

  • برای هر مجموعه X تابع همانی، دوتابا است.
  • تابع f: RR, f(x) = 2x + ۱ دوتابا است چون برای هر y یک x = (y − ۱)/۲ وجود دارد. به طور کلی تمام توابع خطی به شکل f(x) = ax + b روی اعداد حقیقی دوتابا هستند اگر a مخالف صفر باشد. چون برای هر y وجود دارد یک x = (y - b)/a.
  • تابع (f: R → (-π/۲, π/2), f(x) = arctan(x دوتابا هست چون هر x دقیقاً یک زاویه همچو y را در بازه‌ی (π/۲, π/۲-) رهنگاری می‌کند به طوری که (y = arctan(x به بیان دیگر معادله‌ی

(x = tan (y در بازه مذکور دقیقاً یک پاسخ دارد.

  • تابع نمایی g: RR, g(x) = ex دوتابا نیست. چون هیچ x ای وجود ندارد که g(x)=-۱ پس این تابع پوشا نیست؛ ولی اگر هم‌دامنه را به اعداد مثبت محدود کنیم این تابع پوشا و در نتیجه دوتابا می‌شود و وارون این تابع لگاریتم طبیعی نام دارد.
  • تابع h: RR+, h(x) = x2دوسویی نیست چون یک‌به‌یک نیست مثلاً h(−۱) = h(1) = ۱ ولی اگر دامنه آن را به اعداد مثبت محدود کنیم یک‌به‌یک و در نتیجه دوسویی می‌شود و تابع جذر معکوسش است.


ترکیب[ویرایش]

ترکیب دو تابع دوسویی fوg یک تابع دوتابا است. معکوس می‌شود .

یک تابع دوسویی که از ترکیب تابع یک‌به‌یک (سمت چپ) و یک تابع پوشا (سمت راست) به دست می‌آید.

اگر ترکیب دو تابع تابع دوسویی باشد می‌توان نتیجه‌گرفت: f تابع یک‌به‌یک و g تابع پوشا است.

تناظرهای یک‌به‌یک و کاردینالیتی[ویرایش]

اگر X و Y مجموعه‌های متناهی باشند میان X و Y تناظر یک‌به‌یک وجود دارد اگر و تنها اگر تعداد اعضای آن‌ها برابر باشد. در واقع در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها این به عنوان تعریف برابری تعداد اعضا استفاده شده‌است(بنداشت گسترش) یا ([[equinumerosity]])، تعمیم این به مجموعه‌های نامتناهی باعث به‌وجودآمدن مفهوم اعداد کاردینال می‌شود که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌ها با اندازه‌های مختلف هستند.

ویژگی‌ها[ویرایش]

  • یک تابع دوتابا است اگر نمایش آن با هر خط افقی و عمودی دقیقاً در یک نقطه برخورد داشته‌باشد.
  • برای یک مجموعه مانند X، مجموعه‌ی همه‌ی رهنگاری‌ها از X به خودش همراه با کنشگر ترکیب توابع یک گروه را می‌سازد که نام آن گروه سیمتریک آن مجموعه است؛ و با نمادهای S(X), SX و !X(فاکتوریل) نشان داده‌می‌شود.
  • اگر X و Y مجموعه‌های متناهی با تعداد اعضای برابر باشند و f: X → Y در این صورت گزاره‌های زیر هم ارزند:
    1. f یک‌به‌یک است.
    2. f پوشا است.
    3. f دوتاب است.
  • برای هر مجموعه S میان تناظرها از S به خودش و ترتیب‌های کامل اعضا تناظر یک‌به‌یک وجود دارد. به بیان دیگر تعداد جایگشت‌ها با تعداد ترتیب‌های کامل برابر است که هر دو برابر !n هستند.

تناظرهای یک‌به‌یک و نظریه رده‌ها[ویرایش]

در رده از مجموعه‌ها تناظرهای یک‌به‌یک دقیقاً یک‌ریختی‌ها هستند. اگرچه برای رده‌های پیچیده‌تر تناظرهای یک‌به‌یک همواره یک‌ریختی نیستند.

هم چنین ببینید[ویرایش]

تابع یک‌به‌یک

تابع پوشا

نظریه رده‌ها

منابع[ویرایش]

Bijection