رابطه دوتایی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، هر گاه عناصر مجموعه‌ای را به صورت دلخواه به عناصر یک مجموعهٔ دیگر (و یا خود همان مجموعهٔ اوّل) ارتباط دهیم، مطابق تعریف، یک رابطهٔ دوتائی ایجاد شده‌است.

تعریف[ویرایش]

دو مجموعه  A \! و  B \! را در نظر می گیریم. هر زیرمجموعه از مجموعهٔ حاصل ضرب دکارتی  A \times B \! مانند R یک رابطهٔ دوتائی از  A \! به  B \! را تشکیل می‌دهد. به عبارت دیگر اگر  (a,b) \in R آنگاه a و b با هم تحت R در رابطه‌اند.

رابطهٔ n \!-تایی[ویرایش]

به‌همان‌گونه که روابط دوتایی، با تعریف فوق، ارتباط مابین عناصر دو مجموعه را نمایش می‌دهد، روابط n \!-تایی را به منظور نمایش ارتباط میان المان‌های موجود در بیش از دو مجموعه تعریف می‌نماییم.

رابطه روی یک مجموعه[ویرایش]

اگر در تعریف بالا A=B باشد می‌گوییم R یک رابطه روی A است. این رابطه ممکن است دارای ویزگی‌ها‌ی زیر باشد:

  1. R بازتابی است اگر برای هر  a \in A داشته باشیم  a \ R \ a .
  2. R تقارنی است اگر  a \ R \ b \Leftarrow b \ R \ a .
  3. R پادتقارنی است اگر a=b \Leftarrow a \ R \ b \and b \ R \ a .
  4. R ترایایی است اگر c \ R \ a \Leftarrow c\ R \ b \and b \ R \ a .

رابطه‌ای که دارای خاصیت‌های بازتابی، تقارنی و ترایایی باشند رابطه هم‌ارزی می‌گوییم. رابطه‌ای که دارای خاصیت‌های بازتابی، پادتقارنی و ترایایی باشند رابطه ترتیب جزئی می‌گوییم.

اهمیت و کاربردها[ویرایش]

در واقع، همین‌گونه روابط ریاضی و عملیات گوناگون ممکن برروی آن‌ها است، که بنیان‌های نظری و ریاضی جبر رابطه‌ای، و نیز، فن آوری پایگاه‌های رابطه‌ای داده‌ها و سیستم‌های مدیریت آن‌ها را تشکیل می‌دهد.

منابع[ویرایش]