یک‌ریختی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر مجرد، هر یک‌ریختی یا ایزومورفیسم، یک تابع دوسویی هم‌ریختی است. دو ساختار ریاضی را یک‌ریخت (ایزومورف) نامیم هرگاه یک یک‌ریختی بینشان باشد.

تعریف[ویرایش]

فرض کنید (G,*) و (G',*') گروه باشند، تابع 'φ:  G → G را یک‌ریختی (ایزومورفیسم) گوییم هرگاه دوسویی (یک به یک و پوشا) باشد و

\forall a,b \in G \varphi(a*b)=\varphi(a)*'\varphi(b)

عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در \varphi(ab)) در G است ولی حاصل‌ضرب \varphi(a)\varphi(b) در 'G می‌باشد.

مثال‌ها[ویرایش]

  • فرض کنید (×,+R) گروه تمام اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب و (+,R) گروه تمام اعداد حقیقی تحت جمع باشد. تابع لگاریتم را با هر پایه ثابت b از +R بروی (یعنی تابع پوشا است) R در نظر بگیرید. \log_b: \bold{R}^+ \to \bold{R} از آنجایی که برای هر x و y عضو R داریم: \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \! پس لگاریتم یک هم‌ریختی است و از آنجایی که یک به یک و پوشا نیز هست پس یک یک‌ریختی می‌باشد.
  • Z تحت جمع و R تحت جمع یک‌ریخت نیستند، زیرا هیچ تابع یک‌به‌یکی از Z بروی R وجود ندارد.

قضیه‌ها[ویرایش]

منابع[ویرایش]