خودکاهش شرطی واریانس ناهمسانی

در اقتصاد سنجی مدل با خصوصیت autoregressive conditional heteroskedasticity به مدلی گفته می‌شود که فرض بر این دارد که واریانس error term‌ها یا innovationها یک تابع از اندازه error term‌های دوره‌های زمانی قبل است: معمولاً واریانس مرتبط به مربع innovationهای قبلی است. چنین مدلی معمولاً ARCH نامیده می‌شود (Engle, 1982)، البته علامت‌های اختصاری دیگری هم برای مدل‌های بر همین پایه بکار برده می شود. مدل‌های ARCH معمولاً برای سری‌های زمانی مالی بکار برده می‌شود که دسته بندی‌های نوسانی بر پایه زمان - که دوره‌های با نوسان با دوره‌های بدون نوسان همراه می شوند - را نشان می دهند.

مشخصات مدل (ARCH(q

اگر $~\epsilon_t~$ نشان دهنده error term‌ها باشد و فرض شود $~\epsilon_t=\sigma_t z_t ~$ وقتی که $z_t\overset{\textrm{iid}}{\thicksim} N(0,1)$، سری $\sigma_t^2$ بصورت زیر مدل می شود

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \epsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q \epsilon_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} \epsilon_{t-i}^2$

که در آن $~\alpha_0>0~$ , $\alpha_i\ge 0,~i>0$

مدل (ARCH(q را می توان با حداقل مربعات تخمین زد. یک متودولوژی برای پیدا کردن طول لگ error‌ها در ARCH استفاده از Lagrange multiplier است که توسط (Engle (1982 ارائه شده. این رویه بصورت زیر است:

1. بهترین مدل (AR(q برای مدل $y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + \cdots + a_q y_{t-q} + \epsilon_t = a_0 + \sum_{i=1}^q a_i y_{t-i} + \epsilon_t$ را تخمین میزنیم.
2. مربع errorها $\hat \epsilon^2$ را بدست آورده و آنها را روی مقدار ثابت و مقادیر با q لگ رگرس می کنیم.

   $\hat \epsilon_t^2 = \hat \alpha_0 + \sum_{i=1}^{q} \hat \alpha_i \hat \epsilon_{t-i}^2$

   که q طول لگ‌های ARCH می باشد.

3. فرض صفر این است که در نبود اجزاء ARCH برای تمامی $i = 1, \cdots, q$ معادله $\alpha_i = 0$ برقرار است. فرض مقابل (alternative hypothesis) نیز این است که با وجود اجزاء ARCH حداقل یکی از ضرایب $\alpha_i$ معنا دار باشند. در یک نمونه T تایی از residualها تحت فرض صفر، آماره TR² توزیع $\chi^2$ با q درجه آزادی را خواهد داشت. اگر TR² بزرگ تر از مقدار Chi-square در جدول باشد فرض صفر را رد می کنیم و نتیجه می گیریم که در مدل ARMA اثر ARCH وجود دارد. اگر TR² کوچکتر از مقدار Chi-square در جدول باشد، فرض صفر رد نخواهد شد.

GARCH

اگر مدل (autoregressive moving average (ARMA را برای واریانس error‌ها فرض بگیریم، مدل generalized autoregressive conditional heteroskedasticity GARCH, Bollerslev 1986 را خواهیم داشت.

در این حالت مدل (GARCH(p, q که در آن p مرتبه $~\sigma^2$ در مدل GARCH و q مرتبه $~\epsilon^2$ را در این مدل نشان می دهد) بصورت زیر نشان داده می شود

$\sigma_t^2=\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q \epsilon_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2$

معمولا در اقتصاد سنجی وقتی برای heteroskedasticity تست می کنیم، بهترین راه تست White است. هرچند هنگامی که با داده‌های سری زمانی کار می کنیم، این به معنی تست برای errorها در مدل ARCH یا در مدل GARCH است.

قبل از GARCH مدل EWMA بود که مدل GARCH جانشین آن شد، هرچند برخی افراد از هر دو این مدل‌ها استفاده می کنند. مشخصات مدل (GARCH(p, q

طول لگ p در مدل (GARCH(p, q از سه قدم بدست می آید

1. بهترین مدل را برای (AR(q تخمین می زنیم

   $y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + \cdots + a_q y_{t-q} + \epsilon_t = a_0 + \sum_{i=1}^q a_i y_{t-i} + \epsilon_t$

2. مقدار autocorrelationهای $\epsilon^2$ را از فرمول زیر محاسبه و روی نمودار مشخص می کنیم

   $\rho = {{\sum^T_{t=i+1} (\hat \epsilon^2_t - \hat \sigma^2_t) (\hat \epsilon^2_{t-1} - \hat \sigma^2_{t-1})} \over {\sum^2_{t=1} (\hat \epsilon^2_t - \hat \sigma^2_t)^2}}$

3. انحراف از معیار مجانبی $\rho (i)$ برای نمونه‌های بزرگ $1/\sqrt{T}$ است. مقادیری که بزرگتر از این میزان باشند errorهای GARCH را معین می کنند. برای مشخص کردن تعداد لگ‌ها از تست Ljung-Box test استفاده می کنیم. آماره Q در Ljung-Box توزیع $\chi^2$ را با n درجه آزادی خواهد داشت اگر مربع residualها $\epsilon^2_t$ uncorrelated باشند. معمولاً T/4 را برای n درنظر می گیرند. فرض صفر بیان می‌کند که errorها از نوع ARCH یاGARCH نیستند. رد فرض صفر نشان می دهد که چنین error هایی در واریانس‌های شرطی وجود دارد.

GARCH غیرخطیNGARCH

GARCH غیر خطی که (GARCH(1,1 غیر خطی نامتقارن نیز نامیده می‌شود توسط Engle و Ng در 1993 معرفی شد.

$~\sigma_{t}^2= ~\omega + ~\alpha (~\epsilon_{t-1} - ~\theta ~\sigma_{t-1})^2 + ~\beta ~\sigma_{t-1}^2$ $~\alpha , ~\beta \geq 0 ; ~\omega > 0$.

برای بازده سهام مقدار پارامتر $~ \theta$ معمولاً بصورت مثبت تقریب زده می شود. در این مورد این پارامتر اثر اهرمی را نشان می دهد و این مفهوم را دارد که بازده منفی، بی ثباتی در آینده را بیشتر از همان مقدار بازده مثبت، افزایش می دهد.

این مدل را نباید با مدل NARCH که توسط Higgins و Bera در 1992 ارائه شد اشتباه گرفت.

IGARCH

Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity یا IGARCH ورژن محدود شده مدل GARCH است که جمع پارامترهای آن برابر واحد می‌شود و بنابر این یک ریشه واحد (unit root) در GARCH وجود دارد. قید آن بصورت زیر می باشد

$\sum^p_{i=1} ~\beta_{i} +\sum_{i=1}^q~\alpha_{i} = 1$

EGARCH

exponential general autoregressive conditional heteroskedastic یا (EGARCH) توسط Nelson 1991 مدل شده که یک فرم دیگر از GARCH است. بطور تفصیلی (EGARCH(p,q بصورت زیر مشخص می شود

$\log\sigma_{t}^2=\omega+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}g(Z_{t-k})+\sum_{k=1}^{q}\alpha_{k}\log\sigma_{t-k}^{2}$

که در آن $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda(|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$, $\sigma_{t}^{2}$ واریانس مشروط و $\omega$, $\beta$, $\alpha$, $\theta$ و $\lambda$ ضرایب و $Z_{t}$ می تواند متغیر نرمال باشد و یا از توزیع تعمیم یافته error‌ها بدست آمده باشد. فرموله کردن $g(Z_{t})$ به ما اجازه می دهد که علامت و مقدار $Z_{t}$ اثر مشخصی روی نوسانات داشته باشد. این امر بطور خاص در زمینه قیمت گذاری دارایی‌ها سودمند است.

از آنجا که $\log\sigma_{t}^{2}$ ممکن است منفی شود قید دیگری روی پارامترها نمی گذاریم.

GARCH-M

GARCH-in-mean یا (GARCH-M) یک ترم heteroskedasticity به معادله میانگین اضافه می‌کند و بصورت زیر مشخص می شود:

$y_t = ~\beta x_t + ~\lambda ~\sigma_t + ~\epsilon_t$

که residual‌ها $~\epsilon_t$ به این صورت معرفی میشوند

$~\epsilon_t = ~\sigma_t ~\times z_t$

QGARCH

Quadratic GARCH QGARCH توسط Sentana 1995 ارائه شد که برای مدل کردن اثرات نامتقارن شوک‌های منفی و مثبت بکار می رود. برای یک مثال از مدل (GARCH(1,1 که در آن روند residual عبارتست از

$~\epsilon_t = ~\sigma_t z_t$

که در آن $z_t$ بصورت i.i.d است و داریم

$~\sigma_t^2 = K + ~\alpha ~\epsilon_{t-1}^2 + ~\beta ~\sigma_{t-1}^2 + ~\phi ~\epsilon_{t-1}$

GJR-GARCH

همانند (QGARCH، Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH که توسط Glosten, Jagannathan و (Runkle (1993 مدل شد، عدم تقارن در پروسه GARCH مدل می‌کند که پیشنهاد می‌کند $~\epsilon_t = ~\sigma_t z_t$ را مدل کنیم که در آن $z_t$ i.i.d است.

$~\sigma_t^2 = K + ~\delta ~\sigma_{t-1}^2 + ~\alpha ~\epsilon_{t-1}^2 + ~\phi ~\epsilon_{t-1}^2 I_{t-1}$

که اگر $~\epsilon_{t-1} \ge 0$ باشد $I_{t-1} = 0$ است و اگر math> ~\epsilon_{t-1} < 0 </math> باشد $I_{t-1} = 1$ است.

مدل TGARCH

نهایتا (Threshold GARCH (TGARCH که توسط (Zakoian (1994 مدل شده همانند GJR GARCH است و مشخصه آن شرطی بودن انحراف معیار است بجای شرطی بودن واریانس:

$~\sigma_t = K + ~\delta ~\sigma_{t-1} + ~\alpha_1^{+} ~\epsilon_{t-1}^{+} + ~\alpha_1^{-} ~\epsilon_{t-1}^{-}$

که در آن اگر $~\epsilon_{t-1} > 0$ باشد $~\epsilon_{t-1}^{+} = ~\epsilon_{t-1}$ است و اکر $~\epsilon_{t-1} \le 0$ باشد $~\epsilon_{t-1}^{+} = 0$ است. همچنین $~\epsilon_{t-1}^{-} = ~\epsilon_{t-1}$ است اگر $~\epsilon_{t-1} \le 0$ باشد و $~\epsilon_{t-1}^{-} = 0$ است اگر $~\epsilon_{t-1} > 0$ باشد.

پانویس

• Tim Bollerslev. "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity", Journal of Econometrics, 31:307-327, 1986.

• Enders, W. , Applied Econometrics Time Series, John-Wiley & Sons, 139-149, 1995

• Robert F. Engle. "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation", Econometrica 50:987-1008, 1982. (the paper which sparked the general interest in ARCH models)

• Robert F. Engle. "GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics", Journal of Economic Perspectives 15(4):157-168, 2001. (a short, readable introduction) [۲]

• Engle, R.F. (1995) ARCH: selected readings. Oxford University Press. ISBN 0-19-877432-X

• Gujarati, D. N. , Basic Econometrics, 856-862, 2003

• Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach, Econometrica 59: 347-370.

• Bollerslev, Tim (2008). Glossary to ARCH (GARCH), working paper

• Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2005). A Test for Multivariate ARCH Effects, Applied Economics Letters, Vol. 12(7), pp.  411-417.

• http://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_conditional_heteroskedasticity