متغیرهای تصادفی تعویض پذیر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در آمار دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعویض پذیر (به انگلیسی: exchangeable) دنباله ای است که در آن نمونه های آینده مانند نمونه های اولیه رفتار کنند.

تعریف[ویرایش]

در صورتی که دنباله ای بی نهایت X1، X2، X3، ... از متغیرهای تصادفی داشته باشیم، و به ازای هر جایگشت دلخواه σ تعداد محدودی از از آنها را جابجا کنیم، و دنباله ی جدیدی درست کنیم

 X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, X_{\sigma(3)}, \dots

توزیع مشترک دنباله ی جدید عیناً برابر با توزیع مشترک دنباله قبل از جابجایی باشد.

ارتباط بین تعویض پذیری و IID بودن[ویرایش]

مجموعه ای از متغیرهای تصادفی که IID متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان مشروط بر فرض دانستن اطلاعات توزیع، تعویض پذیر هستند. این نتیجه مستقیماً از تعریف دنباله ی تعویض پذیر بر اساس توزیع مشترک بدست می آید. یا به عبارت دیگر می توان یک دنباله ی تعویض پذیر را معادل با یک دنباله ی IID مشروط به ساختار توزیعی آنها تعریف کرد. توجه باید کرد که این مساله تنها در مورد دنباله با طول بی نهایت صادق است.

یک دنباله ی تعویض پذیر با طول بی نهایت، اکیداً ایستا است و قاتون اعداد بزرگ به فرم نظریه ارگودیک (Birkhoff-Khinchin theorem) در مورد آن صدق می کند. یعنی می توان با نسبت دادن توصیفی برای توزیع داده ها، خطای تجمعی نمونه ها اکیداً محدود کرد. هرچه نمونه های واقعی به نمونه های تعویض پذیر شباهت بیشتری داشته باشند، این استدلال واقعی تر است.

می توان توصیف ریاضی مفاهیم بالا را اینگونه بیان کرد. فرض کنیم دنباله ی بینهایت \bold{X}=(X_1,X_2,X_3,...) را داشته باشیم، توزیع نمونه ای F_\bold{X} را اینگونه تعریف می کنیم:

F_\bold{X}(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i \le x).

اگر دنباله \bold{X} تعویض پذیر باشد، بدین معنی است که المان های \bold{X} | F_\bold{X} از هم مستقل هستند. این بدی معنی است که می توان توزیع مشترک هر زیر مجموعه ای از متغیر ها به این صورت جدا کرد:

p(X_1,X_2,...,X_n) = \int \prod_{i=1}^n p(X_i|\theta)\,dP(\theta).

جستارهای وابسته[ویرایش]

توضیحات[ویرایش]

منابع[ویرایش]

مطالعه ی بیشتر[ویرایش]

  • Kingman, J. F. C.، Uses of exchangeability، Ann. Probability 6 (1978) 83–197 MR494344 JSTOR 2243211