نظریه ارگودیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، به یک تبدیل اندازه‌نگهدار T در فضای احتمال، ارگودیک گفته می‌شود اگر تمام مجموعه‌های اندازه‌پذیر ثابت تحت T دارای اندازه‌های ۰ یا ۱ باشند. یک عبارت قدیمی‌تر برای این خاصیت تراگذری متریک بوده است. نظریهٔ ارگادیک و مطالعات تبدیلات ارگادیک، در کنار تلاشهای صورت گرفته برای اثبات فرضیه ارگادیک از فیزیک آماری بوجود آمده است.

نظریه ارگودیک مربوط به شاخه‌ای از علم ریاضیات است که سیستم‌های پویا با یک معیار ثابت ومسائل مربوط به آنها را بررسی می‌کند. این نظریه در ابتدا توسط مسائل مربوط به فیزیک آماری توسعه یافت. یک جنبه اصلی نظریه ارگودیک مربوط به رفتار سیستم‌های پویا در بلند مدت است. اولین نتایجی که در این زمینه به دست آمد مربوط به نظریه بازگشتی Poincaré است. تئوری که ادعا دارد اغلب نقاط در هر زیر مجموعه‌ای از فضای حالت سرانجام دوباره به مجموعه باز می‌یابد. بیشتر اطلاعات دقیق از طریق نظریات متنوع ارگودیک فراهم شده است. این نظریات بیان می‌کنند که تحت شرایط خاص میانگین زمانی یک تابع در طول مسیرهایی که تقریبا در همه جا وجود دارند و مر بوط به میانگین فضایی است. از مهم ترین مثالهای مربوط به نظریه ارگودیک به Birkhoff و von Neumann برای انواع خاصی از سیستم‌های ارگودیک، میانگین زمانی تقریبا برای تمام نقاط ابتدایی یکی می‌باشد: از لحاظ آماری می‌توان گفت سیستمی که شامل یک روند بلند مدت است حالات ابتدایی اش را فراموش می‌کند. مساله مربوط به اندازه‌گیری در طبقه‌بندی کردن سیستم‌ها بخش مهمی از نظریه ارگودیک می‌باشد. نقش برجسته نظریه ارگودیک وکاربرد آن در فرایندهای تصادفی از طریق مفاهیم متنوعی از واحد اندازه‌گیری ترمودینامیک در سیستم‌های پویا ارائه می‌شود. مفاهیم ergodicity و فرضیات ارگودیک از مفاهیم اصلی کاربردی نظریه ارگودیک هستند. ایده تحت بررسی این است که در سیستم‌های خاص میانگین زمانی به طور متوسط در طول تمام فضا یکسان می‌باشد. کاربرد نظریه ارگودیک در دیگر شاخه‌های علوم ریاضی معمولا سیستم‌هایی با ویژگی‌های خاص ایجاد کرده است.

تعریف ارگادیک[ویرایش]

متوسط زمان تابع خوش‌رفتار f را در نظر بگیرید. این به عنوان متوسط بر روی تناوب T با شروع از نقطهٔ آغاز x تعریف می‌شود.

 \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\;
   \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)

همچنین متوسط فضایی یا متوسط فازی f، که به صورت

 \bar f = \int f\,d\mu

تعریف می‌شود که در آن μ اندازهٔ فضای احتمال است.

در کل متوسط زمانی و متوسط فضایی ممکن است با هم متفاوت باشند، اما اگر انتقال ما ارگادیک و اندازه‌نگهدار باشد، آنگاه تقریباً در همه‌جا میانگین زمانی برابر میانگین فضا خواهد بود. این منجر به قضیهٔ ارگادیک است.

ریشه لغت ارگودیک[ویرایش]

کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق شده است. Boltzmann زمانی که روی یک مساله در زمینه مکانیزمهای آماری کار می‌کرد این کلمه را انتخاب کرد..[۱]

تعریف نمادین[ویرایش]

فرض کنید که (X,\; \Sigma ,\; \mu\,) یک فضای احتمال وT:X \to X یک تبدیل قابل اندازه‌گیری است در این صورت می‌گوییم Tنسبت به\mu ارگودیک است (یا به طور جایگزین \mu نسبت به T ارگودیک می‌باشد) اگر یکی از تعریفهای معادل زیر برقرار باشد::[۲]

  • for every  E \in \Sigma with T^{-1}(E)=E\, either \mu(E)=0\, or \mu(E)=1\,.
  • for every  E \in \Sigma with \mu(T^{-*1}(E)\bigtriangleup E)=0 either \mu(E)=0\, or \mu(E)=1\, (where \bigtriangleup denotes the symmetric difference).
  • for every  E \in \Sigma with positive measure we have \mu(\cup_{n=1}^\infty T^{-n}E) = 1.
  • for every two sets E and H of positive measure، there exists an n > ۰ such that \mu(T^{-n}E\cap H)>0.

مثالها[ویرایش]

  • یک دوران اصم دایره R/Z با T: xx+θ که θاصم است ارگودیک می‌باشد. در حالیکه اگر θ = p/q گویا باشددر این صورت T متناوب با دوره تناوب q است ونمی تواند ارگودیک باشد.
  • اگر فرض کنیم کهG یک گروه فشرده آبلی باشد μ معیار نرمالیزه شده Haar باشد وT * یک گروه خود سان از G* باشد. T خودسان ارگودیک است اگر وفقط اگر معادلهT*)n(χ)=χ)در صورتی برقرار باشد که n = ۰ یاχ ویژگی بدیهی G باشد. اگر G یک طبق n بعدی باشدوخودسان T با یک ماتریس صحیح A نشان داده شود در این صورت T یک ارگودیک است هیچ کدام از مقادیر ویژه A یک ریشه واحد نباشد.
  • ergodicity یک سیتم پویای پیوسته به این معنی است که خطوط مسیر در اطراف فضای حالت پخش شده‌اند. یک سیتم با یک فضای حالت فشرده که دارای اولین انتگرال ثابت نیست نمی‌تواند ارگودیک باشد. که این در سیستم هاملتیونی که اولین انتگرال I به طور تابعی مستقل از از تابع هاملتیون H ومجموعه فشرده{X = {(p، q): H(p، q)=Eبا یک انرژی ثابت کاربرد دارد.

نظریه‌های ارگودیک[ویرایش]

فرض کنیم که T:X\to X یک تبدیل قابل اندازه‌گیری روی فضای اندازه‌گیری(X,\Sigma,\mu) است. پس میانگین زمانی \mu یک تابع f انتگرال پذیر است یعنی: f\in L^1(\mu). میانگین زمانی به عنوان میانگینی در طول تکرارهایی ازT که از تعدادی نقطه ابتدایی x شروع شده است:

 \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\;
   \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right).
  • اگر \mu(X) محدود وغیر صفر باشد در این صورت می‌توانیم میانگین مکانی از f را به صورت زیر تعریف کنیم:
 \bar f =\frac 1{\mu(X)} \int f\,d\mu. \quad\text{ (For a probability space,} \mu(X)=1.)
  • در کل میانگین زمانی ومکانی ممکن است متفاوت باشند. اما اگر تبدیل ارگودیک باشد واندازه گیری نا متغیر باشد در این صورت تقریبا در همه جا میانگین زمانی با میانگین مکانی معادل است. این خلاصه‌ای از نظریه ارگودیک از دیدگاه جورج دیوید بیرکهوف است. تئوری توزیع همسان مورد ویژه‌ای از نظریه ارگودیک است که با توزیع‌های احتمال روی یک بازه واحد بررسی می‌شود.

حالت قوی نظریه ارگودیک که محدود به تعریفی از میانگین زمانی f می‌باشد وتقریبا برای هر x وتابع حدی انتگرال پذیر \hat f وجود دارد:

\hat f \in L^1(\mu). \,
  • علاوه برآن \hat f نسبت به T نا متغیر است یعنی می‌توان گفت که:
\hat f \circ T= \hat f \, تقریبا در همه جا برقرار است واگر \mu(X) محدود باشد در این صورت نرمال سازی نیز به یکسان است:
\int \hat f\, d\mu = \int f\, d\mu.
  • اگر T به صورت ارگودیک باشد در این صورت \hat f باید ثابت باشد وبنابراینداریم:

\bar f = \hat f \,

با ادغام اولین به آخرین ادعا وبا فرض اینکه \mu(X) محدود وغیر صفر است داریم:

\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right) = \frac 1{\mu(X)}\int f\,d\mu
  • بنابراین تقریبا برای تمام x‌ها به جز آنهایی که مجموعه‌ای با اندازه صفر هستند قطعا برای یک تبدیل ارگودیک میانگین زمانی تقریبا معادل میانگین مکانی می‌باشد.

قاعده سازی احتمالی:قضیه Birkhoff–Khinchin[ویرایش]

قضیه Birkhoff–Khinchin می‌گوید با فرض اینکه f قابل اندازه‌گیری باشد E(|f|)<+\infty وT یک نگاشت حفظ کننده اندازه‌گیری باشد سپس داشته باشیم:

\lim_{n\rightarrow\infty}\;
   \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)=E(f|\mathcal{C})\text{ a.s.},

به طوری که E(f|\mathcal{C}) میانگین شرطی \sigma جبری داده شده \mathcal{C} از مجموعه نا متغیرT می‌باشد. نتیجه فرعی این است که اگر T به صورت ارگودیک باشد در این صورت\mathcal{C} یک \mathcal{C} جبری بدیهی است بنابراین:

\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)=E(f)\text{ a.s.}

حد متوسط قضیه ارگودیک[ویرایش]

صورت دیگر قضیه ارگودیک مر بوط به حد متوسط قضیه ارگودیک است که توسط Neumann von ارائه شد ه ودر فضای Hilbert برقرار است.[۳] فرض کنید که U یک اپراتورواحد روی فضای Hilbert یعنی H باشد یا به طور کلی تر یک اپراتور خطی هم اندازه باشد. این بدان معنی است که لازم نیست اپراتور خطی رابطه \|Ux\|=\|x\| for all x \in H را برقرار کند یا به طور معادل U^*U=I, را ارضاء کند واما لازم نیست که UU^*=I باشد. فرض کنید که P یک تصویر متعامد روی \{\psi \in H| U\psi=\psi\} = \operatorname{Ker}(I-U) باشد در این صورت برای هر x \in H داریم:

 \lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} U^{n} x = P x,
  • به طوریکه حد نسبت به اندازه روی H است.
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}U^n

به عبارت دیگر توالی میانگینها نسبت به P در توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. این قضیه خاص مواردی است که که در آن فضای Hilbert یعنی H شامل L۲ تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور وU به صورتL۲ تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور وU به صورت:Uf(x) = f(Tx) \, می‌باشد که طوریکه T یک حفظ کننده اندازه‌گیری درونی X می‌باشد. اگر چه در عمل نماینده‌ای از یک مرحله زمانی در یک سیستم پویای گسسته می‌باشد.[۴]

  • بنابراین قضیه ارگودیک عملکرد میانگین تابع f را در طول یک مقیاس زمانی به اندازه کافی بزرگ ارزیابی می‌کند که از طریق جزء متعامد از f که نسبت به زمان نامتغیر است تقریب زده شده است.

صورت دیگر قضیه حد متوسط ارگودیک این است که فرض کنیم Ut یک گروه یک پارامتری اکیدا پیوسته از اپراتور واحد روی H باشد در این صورت اپراتور به صورت زیر است:

\frac{1}{T}\int_0^T U_t\,dt

که همچنان که T → ∞ آن نیز به توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. در حقیقت این نتایج به مواردی از پیوستگی اکید نیم گروه یک پارامتری از اپراتورهای متمایل به فضای باز تابنده تعمیم داده می‌شود. تذ کر: قضیه حد متوسط ارگودیک را می‌توان از طریق ملاحظه مواردی که تعدادی مجموعه با طول واحد به عنوان تبدیلات واحد روی صفحه چند جزیی هستند در نظر گرفت. اگر ما یک تعداد ترکیب منفرد از طول واحد را بر گزینیم (چیزی که به عنوان U آن را در نظر می‌گیریم) مشهود است که این ترکیب با توانی که دارد دایره را سیر می‌کند. از آنجایی که دایره پیرامون ۰ متقارن است منطقی است که متوسط توان U نیز به صفر همگرا خواهد بود. همچنین ۰ تنها نقطه ثابت U است وبنابراین تصویر آن روی فضایی از نقاط ثابت باید به صورت یک اپراتور صفر باشد که مطبق با حدی است که قبلا ذکر کردیم.

همگرایی میانگین‌های ارگودیک در مقیاس‌های L^p[ویرایش]

فرض کنید که (X,\Sigma,\mu) به عنوان فضای احتمالی بالا با تبدیل حفظ کننوه اندازه‌گیری T باشد وفرض کنید که 1\leq p\leq \infty. میانگین شرطی نسبت به مجموع جبری σ، \Sigma_T از T مجموعه نا متغیر یک تصویرگر خطیE_T با اندازه ۱ از فضای Banach L^p(X,\Sigma,\mu) به زیر فضای بسته L^p(X,\Sigma,\mu) است. که بعدا ممکن است به عنوان فضایی از همه </math> T های نا متغیر توابع L^p روی X طبقه‌بندی شود. همچنین میانگین‌های ارگودیک به عنوان اپراتورهای خطی روی L^p(X,\Sigma,\mu) دارای یک اپراتور با اندازه واحد می‌باشد. به عنوان یک تنیجه گیری ساده از قضیه Birkhoff–Khinchin همگرایی به تصویر گر E_T در توپولوژی اپراتور قوی L^p است اگر 1\leq p<\infty, ودر توپولوژی اپراتور ضعیف است اگر p=\infty باشد.

اغلب این درست است که داشته باشیم: 1<p\leq \infty: قضیه حالت‌های همگرایی تسلطی ارگودیک مربوط به Wiener–Yoshida–Kakutani بیان می‌کند که میانگین‌های ارگودیک از f\in L^p درL^p مسلط شده است. به هر حال اگر f\in L^1 باشد ممکن است میانگین‌های ارگودیک از L^1 مسلط نشده باشد.

سرانجام اگر فرض شود که f در طبقه Zygmund است یعنی |f|\log^+|f| انتگرال پذیر باشد در این صورت حد متوسط ارگودیک حتی در L^1 تسلط یافته است.

زمان اقامت[ویرایش]

فرض کنید که (X,\Sigma,\mu) یک فضای اندازه‌گیری باشد به طوریکه \mu(X) محدود وغیر صفر است. مدت زمانی که در یک مجموعه قابل اندازه‌گیری A سپری می‌شود زمان اقامت نامیده می‌شود. یکی از نتیجه‌هایی که بلافاصله از قضیه ارگودیک به دست می‌آید این است که در یک سیستم اندازه نسبی A معادل با متوسط زمان اقامت است:

 \frac{\mu(A)}{\mu(X)} = \frac 1{\mu(X)}\int \chi_A\, d\mu
 = \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \chi_A\left(T^k x\right)

برای تمام x‌ها به جز برای یک مجموعه با اندازه صفر به طوریکه \chi_A شاخص تابعی از A می‌باشد. فرض کنید که زمان‌های پیش آمد از یک مجموعه قابل اندازه‌گیری A به عنوان مجموعه‌ای از k۱، k۲، k۳،... ، از زمان‌های k به طوریکه Tk(x) که در A وجود دارد به تر تیب افزایشی دسته بندی شده باشند. تناوب میان زمان‌های رخداد متوالی Ri = kiki−۱ زمان‌های بازگشتی نامیده می‌شود. یکی از نتایج دیگری که از قضیه ارگودیک گرفته می‌شود این است که متوسط زمان بازگشت از A به طور معکوس متناسب است با اندازه A. فرض می‌کنیم که که نقطه ابتدایی x در A است بنابر این: k۰ = ۰.

 \frac{R_1 + \cdots + R_n}{n} \rightarrow \frac{\mu(X)}{\mu(A)}
 \quad\mbox{(almost surely)}
  • هر چه A کوتاه تر باشد در این صورت مدت زمان بازگشت به آن طولانی تر است.

زنجیر ه‌های Markov[ویرایش]

در یک زنجیر ه Markov یک عبارت i به صورت ارگودیک است اگر نا دوره‌ای وبر گردنده مثبت باشد. اگر تمام عبارات در زنجیره Markov به صورت ارگودیک باشند در این صورت زنجیره ارگودیک است.

تجزیه ارگودیک[ویرایش]

متعقابا اینکه ergodicity یک سیستم پویا یک ویژگی خاص تحویل نا پذیر است وابسته به مفهوم نمایش غیر قابل تقلیل جبری وعدد اول در ریاضیات است. یک تبدیل حفظ کننده اندازه‌گیری یا جریانی روی فضای ergodicity مطابق با یک تجزیه متعارف به اجزای ارگودیک آن است یعنی به هر کدام از اجزایی که ارگودیک هستند.

References[ویرایش]

  1. Walters 1982, §0.1, p. 2
  2. Walters 1982, §1.5, p. 27
  3. I: Functional Analysis: Volume 1 by Michael Reed, Barry Simon,Academic Press; REV edition (1980)
  4. (Walters 1982)

Historical references[ویرایش]

Modern references[ویرایش]

  • D.V. Anosov (2001), "Ergodic theory", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
  • {{{عنوان}}} در پلنت‌مث.
  • ولادیمیر آرنولد and André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics. New York: W.A. Benjamin. 1968.
  • Leo Breiman, Probability. Original edition published by Addison–Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (See Chapter 6.)
  • Peter Walters, An introduction to ارگودیک theory, Springer, New York, 1982, ISBN 0-387-95152-0.
  • Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, eds. (1991), ارگودیک theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces, Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X  (A survey of topics in ارگودیک theory; with exercises.)
  • Karl Petersen. ارگودیک Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 1990.
  • Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, Pointwise ارگودیک theorems via harmonic analysis, (1993) appearing in Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds. , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. (An extensive survey of the ارگودیک properties of generalizations of the equidistribution theorem of shift maps on the unit interval. Focuses on methods developed by Bourgain.)
  • A.N. Shiryaev, Probability, 2nd ed. , Springer 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]