کره (هندسه)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نگارهٔ یک کره.

کُره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره‌است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و درنتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.

حجم کره[ویرایش]

در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

\!V = \frac{4}{3}\pi r^3

که در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.

در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست می‌آید.

برآورد حجم کره با کمک مفهوم انتگرال[ویرایش]

نیم کرهٔ مورد بحث

نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد درنتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = 0 قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = 0).

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر[۱] است. درنتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی:

\!r^2 = s^2 + h^2

پس به جای s^2 از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار h^2 است استفاده می‌کنیم:

\!r^2 - h^2= s^2

مقدار تازهٔ s^2 را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.

مقدار انتگرال برابر است با:

\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.

حجم نیمی از کره برابر با \!V = \frac{2}{3}\pi r^3 است پس حجم کل کره می‌شود:

\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi


مساحت کره[ویرایش]

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

\!A = 4\pi r^2.

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیر که شعاع آن‌ها از ۰ تا r می‌تواند متفاوت باشد. درنتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با A(r) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

V \approx \sum A(r) \cdot \delta r

هنگامی که δr به سمت صفر میل می‌کند[۱] باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

V = \int_0^r A(r) \, dr

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

\!4\pi r^2 = A(r)

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

\!A = 4\pi r^2

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Pages 141, 149. E.J. Borowski, J.M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. ISBN 0-00-434347-6.