گروه (ریاضی)

گروه در ریاضیات یک ساختار جبری شامل یک مجموعه به همراه یک عمل دوتایی، مانند جمع یا ضرب، است که بر روی اعضای گروه عمل می‌کند. برای اینکه ساختار تعریف شده یک گروه نامیده شود، عمل دوتایی باید شرایط زیر را داشته باشد:

• بسته باشد.
• شرکت پذیر باشد.
• دارای عضو خنثی باشد.
• دارای وارون باشد.

اگر عمل دوتایی علاوه بر خواص بالا دارای خاصیت جابه‌جایی باشد، به آن گروه جابه‌جایی یا گروه آبلی می‌گویند. آن بخش از ریاضیات که به بررسی ویژگی‌های گروه‌ها می‌پردازد نظریه گروه‌ها نام دارد که زیر شاخهٔ جبر مجرد است.

گروهها به دو دسته متناهی و نامتناهی تقسیم می‌شوند. از جمله مفاهیم مربوط به آنها، گروه آبلی، گروه دوری، زیرگروه(مشابه زیر مجموعه) و غیره است. در واقع نظریه گروهها نوعی تعمیم از نظریه مجموعه‌ها است. وقتی یک گروه را با دو عمل دوتایی به همراه برخی ویژگیها در نظر بگیریم، وارد حلقه‌ها و میدانها می‌شویم.

مثال

آشناترین مثال برای یک گروه اعداد صحیح همراه با عمل جمع معمولی است.

1. مجموع هر دو عدد صحیح یک عدد صحیح است پس اعداد صحیح تحت جمع بسته است.
2. فرض کنید a, b, c اعداد صحیح باشند. در این صورت جمع a+b با c برابر است با جمع a با b+c و بنابراین مجموعهٔ اعداد صحیح تحت جمع شرکت پذیر است.
3. عضو خنثی جمع صفر است. حاصل جمع هر عدد صحیح با صفر خودش می‌شود.
4. وارون جمعی هر عدد صحیح منفی آن است.

مفاهیم پایه‌ای

زیرگروه

زیرگروه به زبان ساده، گروهی است که زیرمجموعهٔ یک گروه بزرگتر است. به زبان دقیق‌تر، فرض کنید G یک گروه و H زیرمجموعهٔ G باشد. H را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه تحدید دامنهٔ عمل دوتایی G به H خود شرایط گروه را برآورده سازد.

همریختی گروه‌ها

هم‌ریختی گروه‌ها تابعی است که ساختار گروه را حفظ می‌کند. به زبان دقیق‌تر، تابع $\alpha: G \to H$ یک همریختی بین دو گروه $(G,*)$ و $(H,\star)$ است هرگاه داشته باشیم: $\forall a, b \in G \rightarrow \alpha(a*b)=\alpha(a) \star \alpha(b)$

همدسته

گروه G و زیرگروه H را در نظر بگیرید. رابطه $\sim_H$ را روی G به این صورت تعریف می‌کنیم:

$x\sim_Hy \leftrightarrow \ \exists h\in H \ ; \ x=yh$

این رابطه بر روی G یک رابطهٔ هم‌ارزی است و G را به رده‌های هم‌ارزی افراز می‌کند. هر ردهٔ هم ارزی را یک همدستهٔ چپ H می‌گویند. کلاس هم‌ارزی شامل عنصر x به این صورت خواهد بود:

$\{ xh \ ; \ h\in H \}$

همدسته‌های راست نیز به طور مشابه با ضرب عنصری از H از طرف دیگر تعریف می‌شوند.

منبع

• مقالهٔ Group (mathematics) در ویکی‌پدیای انگلیسی، دسترسی در دسامبر ۲۰۰۵
• Derek J.S. Robinson.(2003) An Introduction to Abstract Algebra. Germany. Walter de Gruyter.