دایره

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
قطعه‌ای زینتی و دایره‌ای از جنس ابریشم با طرح‌های مغول متعلق به هنر دوره ایلخانی.
تاریخ اثر: حدود 1305 میلادی
یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)
نمای بالایی از اندرونی برج طغرل که به صورت دایره شکل است و معرف معماری دوران سلجوقیان است.

دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطه ی ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد. نقطه ی ثابت مرکز دایره و مقدار ثابت اندازه ی شعاع دایره نامیده می‌شود.

در حقیقت، دایره یک بیضی است که کانون‌های آن بر همدیگر منطبق‌اند.

2πr= محیط دایره

πr²= مساحت دایره

اِفرازِ صفحه توسط دایره[ویرایش]

دایره صفحه را به سه بخش اِفراز می‌کند:

  1. داخل دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند I، که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است؛
  2. روی دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند M که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است؛
  3. خارج دایره، مجموعه ی نقطه‌هایی مانند E که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.

وتر[ویرایش]

یک دایره با دو وتر و یک قطر

پاره خطی که دو نقطه ی متمایز از یک دایره را به هم وصل می‌کند، وتر آن دایره نامیده می‌شود.

  • قطر: وتری که از مرکز دایره می‌گذرد، قطر آن دایره نامیده می‌شود.
هر قطر، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیمدایره نامیده می‌شوند.

زاویه مرکزی[ویرایش]

زاویه مرکزی

زاویه‌ای که رأسش مرکز دایره باشد، زاویه مرکزی می‌نامند.

  • هر زاویه مرکزی یک کمان از دایره جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویه مرکزی گفته می‌شود.
  • اندازه ی کمان نظیر هر زاویه مرکزی در دایره برحسب درجه، همان اندازه ی زاویه مرکزی روبه روی آن کمان است.

قضیه‌های دایره[ویرایش]

  • در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیرِ آن وتر را نصف می‌کند.
قطر عمود بر وتر دایره
  • در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و به وارون.
وتر بزرگتر به مرکز دایره نزدیکتر است

معادله‌های دایره[ویرایش]

نمودار معادله ی دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r
  • مرکز شعاع: دایره‌ای که مرکزش (c(h,k و شعاعش r باشد، دارای معادله ی

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

است.

چرایی: نقطه ی (P(x,y روی دایره‌است اگر و فقط اگر

=r|\overline{P C}|


یعنی، اگر و فقط اگر

\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r

این درست است اگر و فقط اگر

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2


نمودار معادله ی دایره‌ای به مرکز (۰٫۰) و شعاع r
معادله‌ی دایره‌ای به مرکز (۰٫۰):

x^2+y^2=r^2

چرایی:با گذاردن h=0 و k=0 در رابطه‌ی مرکز-شعاع دایره، به سادگی رابطه‌ی بالا بدست می‌آید.
  • شکل کلی: معادله‌ی زیر

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0


که در آن D=-2h و E=-2k و F=h^2+k^2-r^2، شکل کلی معادله ی دایره نامیده می‌شود.

منابع[ویرایش]

کتاب هندسه2. شابک ۴-۱۲۹۷-۰۵-۹۶۴
حساب دیفرانسیل و انتگرال باهندسه ی تحلیلی، نوشته ی لویی لیت هولد. شابک ۷-۶۱۳۳ ۰۳-۹۶۴