دایره

برای دیگر کاربردها، دایره (ابهام‌زدایی) را ببینید.

قطعه‌ای زینتی و دایره‌ای از جنس ابریشم با طرح‌های مغول متعلق به هنر دوره ایلخانی.
تاریخ اثر: حدود 1305 میلادی

یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)

نمای بالایی از اندرونی برج طغرل که به صورت دایره شکل است و معرف معماری دوران سلجوقیان است.

دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله شان از نقطه ی ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد. نقطه ی ثابت مرکز دایره و مقدار ثابت اندازه ی شعاع دایره نامیده می‌شود.

در حقیقت، دایره یک بیضی است که کانون‌های آن بر همدیگر منطبق‌اند.

2πr= محیط دایره

πr²= مساحت دایره

اِفرازِ صفحه توسط دایره

دایره صفحه را به سه بخش اِفراز می‌کند:

1. داخل دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند I، که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است؛
   
2. روی دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند M که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است؛
   
3. خارج دایره، مجموعه ی نقطه‌هایی مانند E که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.

وتر

یک دایره با دو وتر و یک قطر

پاره خطی که دو نقطه ی متمایز از یک دایره را به هم وصل می‌کند، وتر آن دایره نامیده می‌شود.

• قطر: وتری که از مرکز دایره می‌گذرد، قطر آن دایره نامیده می‌شود.
  

هر قطر، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیمدایره نامیده می‌شوند.

زاویه مرکزی

زاویه مرکزی

زاویه‌ای که رأسش مرکز دایره باشد، زاویه مرکزی می‌نامند.

• هر زاویه مرکزی یک کمان از دایره جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویه مرکزی گفته می‌شود.
  
• اندازه ی کمان نظیر هر زاویه مرکزی در دایره برحسب درجه، همان اندازه ی زاویه مرکزی روبه روی آن کمان است.

قضیه‌های دایره

• در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیرِ آن وتر را نصف می‌کند.

• در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و به وارون.

معادله‌های دایره

نمودار معادله ی دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r

• مرکز شعاع: دایره‌ای که مرکزش (c(h,k و شعاعش r باشد، دارای معادله ی

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

است.

چرایی: نقطه ی (P(x,y روی دایره‌است اگر و فقط اگر

$=r$|$\overline{P C}$|

یعنی، اگر و فقط اگر

$\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r$

این درست است اگر و فقط اگر

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

معادله‌ی دایره‌ای به مرکز (۰٫۰):

$x^2+y^2=r^2$

چرایی:با گذاردن $h=0$ و $k=0$ در رابطه‌ی مرکز-شعاع دایره، به سادگی رابطه‌ی بالا بدست می‌آید.

• شکل کلی: معادله‌ی زیر

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

که در آن $D=-2h$ و $E=-2k$ و $F=h^2+k^2-r^2$، شکل کلی معادله ی دایره نامیده می‌شود.

منبع

کتاب هندسه2. شابک ۴-۱۲۹۷-۰۵-۹۶۴
حساب دیفرانسیل و انتگرال باهندسه ی تحلیلی، نوشته ی لویی لیت هولد. شابک ۷-۶۱۳۳ ۰۳-۹۶۴