ماتریس (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش یک ماتریس با m سطر و n ستون

ماتریس (به انگلیسی: matrices :جمع ،matrix) به آرایشی مستطیلی شکل از اعداد یا عبارات ریاضی که بصورت سطر و ستون شکل یافته گفته می‌شود. به طوری که می‌توان گفت که هر ستون یا هر سطر یک ماتریس، یک بردار را تشکیل می‌دهد. هر یک از عناصر ماتریس درایه خوانده می‌شود. ماتریسی با ۲ سطر و ۳ ستون به این شکل است:

\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}

ماتریس‌های هم اندازه (با تعداد سطر و ستون برابر) را می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد. ضرب دو ماتریس تنها در صورتی ممکن است که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.

در جبر خطی، می‌توان اثبات کرد که هر نگاشت خطیِ، از فضای {\mathbb{R}^n} به فضای {\mathbb{R}^m}، هم ارز (isomorph) با یک ماتریس m\times n (m سطر و n ستون) می‌باشد. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند.

یکی از کاربردهای ماتریس‌ها در حل دستگاه معادلات خطی‌ست. اگر ماتریس مربعی باشد، برخی مشخصات آن را می‌توان از دترمینان آن استنباط کرد. مثلاً یک ماتریس مربعی معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر دترمینان آن غیر صفر باشد. مقدار ویژه و بردار ویژه اطلاعاتی دربارهٔ هندسهٔ نگاشت‌های خطی می‌دهند.

ماتریس‌ها در بیشتر زمینه‌های علمی کاربرد دارند. در تمامی شاخه‌های فیزیک، شامل مکانیک کلاسیک، نورشناسی، الکترومغناطیس، مکانیک کوانتوم و الکترودینامیک کوانتومی از ماتریس برای مطالعهٔ پدیده‌های فیزیکی استفاده می‌شود.

درایه[ویرایش]

به هر یک از عناصر موجود در یک ماتریس درایه می‌گویند. برای مشخص کردن هر درایه باید عدد ردیف و ستون آن را بصورت پایین‌نویس نام ماتریس نوشت. برای مثال اگر نام ماتریسی A باشد، درایه‌ای که در ردیف اول و ستون دوم قرار دارد به این صورت نشان داده می‌شود: A۱٬۲. درایه‌های یک ماتریس در حالت کلی می‌توانند حقیقی یا مختلط باشند.

ابعاد[ویرایش]

ابعاد یک ماتریس با تعداد سطر و ستون آن تعیین می‌شود. ابعاد ماتریسی با m سطر و n ستون بصورت m × n نوشته m و در n خوانده می‌شود. مثلاً ابعاد ماتریس A سه در دو (۲×۳) است.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
     -1.3 & 0.6 \\
     20.4 & 5.5 \\
      9.7 & -6.2
  \end{bmatrix}

ماتریسی که تنها یک سطر دارد بردار سطری و ماتریسی که تنهایک ستون دارد بردار ستونی نامیده می‌شود. ماتریسی که تعداد سطر و ستون برابر دارد ماتریس مربعی نامیده می‌شود. ماتریسی با تعداد سطر یا ستون (یا هر دو) بی‌نهایت ماتریس بی‌نهایت خوانده می‌شود. ماتریس تهی ماتریسی‌ست که سطر و ستونی ندارد.

نام ابعاد مثال توضیح
بردار سطری ۱ × n \begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix} ماتریسی با یک سطر که گاهی برای نشان دادن بردار استفاده می‌شود
بردار ستونی n × ۱ \begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix} ماتریسی با یک ستون که گاهی برای نشان دادن بردار استفاده می‌شود
ماتریس مربعی n × n \begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix} ماتریسی با تعداد سطر و ستون برابر که گاهی براس نشان دادن نگاشت خطی از یک فضای بردار به خودش استفاده می‌شود مانند انعکاس و چرخش.

نگارش[ویرایش]

ماتریس‌ها معمولاً بصورت قلاب

 \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}

یا کمانک

 \mathbf{A} = 
 \left(\begin{array}{rrrr}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{array} \right)

نشان داده می‌شوند. ماتریس‌ها معمولاً با حروف بزرگ (مثل A) نشان داده می‌شوند. در این حالت حرف کوچک مربوطه با دو پایین‌نویس (مثل a۱۱, یاa۱٬۱) نشان دهندهٔ درایه‌ای از A است. یک درایه از ماتریس همچنین بصورت A[۱٬۱A۱٬۱ یا (۱،۱) هم نشان داده می‌شود. مثلاً درایهٔ (۱،۳) از ماتریس A (یا بطور معادل [a۱۳، a۱٬۳، A[۱٬۳ یاA۱٬۳) برابر ۵ است:


  \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
    4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\
    -2 & 0 & 11 & 8 \\
    19 & 1 & -3 & 12
  \end{bmatrix}

عملیات اصلی[ویرایش]

کهاد ماتریس[ویرایش]

اگر [A= [aij ماتریسی n×n باشد ماتریسی را که از حذف سطر iام و ستون jام ماتریس A بدست می‌آید با Mij نشان داده و آن را ijامین کهاد ماتریس A می‌نامیم.

معادلهٔ خطی[ویرایش]

نوشتار اصلی: معادله خطی


نگاشت خطی[ویرایش]

نوشتار اصلی: نگاشت خطی


ماتریس مربعی[ویرایش]

نوشتار اصلی: ماتریس مربعی


ماتریس وارون[ویرایش]

نوشتار اصلی: ماتریس وارون


جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Matrix (mathematics)»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۸ مارس ۲۰۱۴).

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ ماتریس (ریاضی) موجود است.
  • Alan Tucker, ۱۹۸۸ : A Unified Introduction to Linear Algebra: Models, Methods and Theory , Macmillan Pub Co. ISBN 0-02-421580-5
  • ویدیوهای آموزش ماتریس به زبان فارسی در http://kelasedars.org