برچسبها : متن دارای ویکیمتن نامتناظر ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه
خط ۱:
خط ۱:
{{مثلثات}}
{{مثلثات}}
'''توابع معکوس مثلثاتی''' در [[ریاضیات]]، [[تابع معکوس|معکوس]] [[سینوس (ریاضیات)|تابعهای مثلثاتی]] اند که طبق تعریف تابع وارون، [[برد (ریاضی)|بُرد]] آنها [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که [[تابعهای مثلثاتی]] هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به [[آزمون خط افقی]]).
'''توابع معکوس مثلثاتی''' در [[ریاضیات]]، [[تابع معکوس|معکوس]] [[سینوس (ریاضیات)|تابعهای مثلثاتی]] اند که طبق تعریف تابع وارون، [[برد (ریاضی)|بُرد]] آنها [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که [[تابعهای مثلثاتی]] هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای اینکه وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به [[آزمون خط افقی]]).
برای نمونه اگر تعریف کنیم <math>y = \operatorname{arcsin}(x)</math> آنگاه <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> است امابازای یک ''x'' یکتا میتوان چندین ''y'' پیدا کرد که به ازای آن <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> شود، مانند ''y'' مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آنها مقدار سینوس یا ''x'' برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin میتواند میتواند چندین جواب داشته باشد <math>\operatorname{arcsin}(0)=0, \pi, 2\pi</math> درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابعهای وارون مثلثاتی محدودیت [[برد (ریاضی)|بُرد]] یا خروجی قرار میدهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
برای نمونه اگر تعریف کنیم <math>y = \operatorname{arcsin}(x)</math> آنگاه <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> است امابازای یک ''x'' یکتا میتوان چندین ''y'' پیدا کرد که به ازای آن <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> شود، مانند ''y'' مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آنها مقدار سینوس یا ''x'' برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin میتواند میتواند چندین جواب داشته باشد <math>\operatorname{arcsin}(0)=0, \pi, 2\pi</math> درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابعهای وارون مثلثاتی محدودیت [[برد (ریاضی)|بُرد]] یا خروجی قرار میدهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
توابع معکوس مثلثاتی در ریاضیات ، معکوس تابعهای مثلثاتی اند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آنها زیرمجموعهٔ دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابعهای مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای اینکه وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به آزمون خط افقی ).
برای نمونه اگر تعریف کنیم
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcsin} (x)}
آنگاه
x
=
sin
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {sin} (y)}
است امابازای یک x یکتا میتوان چندین y پیدا کرد که به ازای آن
x
=
sin
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {sin} (y)}
شود، مانند y مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آنها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin میتواند میتواند چندین جواب داشته باشد
arcsin
(
0
)
=
0
,
π
,
2
π
{\displaystyle \operatorname {arcsin} (0)=0,\pi ,2\pi }
درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابعهای وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار میدهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
تابعهای اصلی در جدول زیر آورده شدهاند:
نام
نماد ریاضی
تعریف
بازهٔ x برای خروجیهای حقیقی
برد تابع (رادیان )
برد تابع (درجه )
آرکسینوس
y = arcsin x
x = sin y
۱ ≥ x ≥ ۱−
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرککسینوس
y = arccos x
x = cos y
۱ ≥ x ≥ ۱−
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرکتانژانت
y = arctan x
x = tan y
تمامی اعداد حقیقی
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرککتانژانت
y = arccot x
x = cot y
تمامی اعداد حقیقی
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرکسکانت
y = arcsec x
x = sec y
x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x
0
≤
y
≤
π
,
y
≠
π
2
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi ,y\neq \;{\frac {\pi }{2}}}
۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰°
آرککسکانت
y = arccsc x
x = csc y
x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x
−
π
2
≤
y
≤
π
2
,
y
≠
0
{\displaystyle {\frac {-\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq \;0}
°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰°
برخی تعاریف:
آرکسینوس یک عدد مفروض زاویهای است که سینوس آن برابر آن عدد مفروض است
آرککسینوس یک عدد مفروض زاویهای است که کسینوس آن برابر آن عدد مفروض است
آرکتانژانت یک عدد مفروض زاویهای است که تانژانت آن برابر آن عدد مفروض است
آرککتانژانت یک عدد مفروض زاویهای است که کتانژانت آن برابر آن عدد مفروض است.[۱]
رابطهٔ میان تابعهای وارون مثلثاتی
نمودار تابع های
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsin} (x)}
(قرمز) و
arccos
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccos} (x)}
(آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.
نمودار تابع های
arctan
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arctan} (x)}
(قرمز) و
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} (x)}
(آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.
نمودار تابع های
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} (x)}
(قرمز) و
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)}
(آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.
زاویههای مکمل:
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
arccsc
x
=
π
2
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}
ورودیهای با علامت مخالف:
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}
ورودیهای وارون شده:
arccos
(
1
/
x
)
=
arcsec
x
{\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}
arcsin
(
1
/
x
)
=
arccsc
x
{\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arctan
x
=
arccot
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
−
1
2
π
−
arctan
x
=
−
π
+
arccot
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arccot
x
=
arctan
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
3
2
π
−
arccot
x
=
π
+
arctan
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,}
arcsec
(
1
/
x
)
=
arccos
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}
arccsc
(
1
/
x
)
=
arcsin
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}
در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:
arccos
x
=
arcsin
1
−
x
2
,
if
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1}
arctan
x
=
arcsin
x
x
2
+
1
{\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).
با استفاده از رابطهٔ نیم-زاویه
tan
θ
2
=
sin
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
خواهیم داشت:
arcsin
x
=
2
arctan
x
1
+
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
arccos
x
=
2
arctan
1
−
x
2
1
+
x
,
if
−
1
<
x
≤
+
1
{\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1}
arctan
x
=
2
arctan
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
رابطههای میان تابعهای مثلثاتی و تابعهای وارون مثلثاتی
sin
(
arccos
x
)
=
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
sin
(
arctan
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arcsin
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
راه حل کلی
تابعهای مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابعهای متناوب اند و در بازههایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آنها مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب تابعهای سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود، در نتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود و مقدار تابع به ازای بازههای ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود، و تابع به ازای بازههای ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز میگردد.
این تناوب در تابعهای وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:
sin
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arcsin
(
x
)
+
2
k
π
or
y
=
π
−
arcsin
(
x
)
+
2
k
π
{\displaystyle \sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin(x)+2k\pi }
cos
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arccos
(
x
)
+
2
k
π
or
y
=
2
π
−
arccos
(
x
)
+
2
k
π
{\displaystyle \cos(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arccos(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\arccos(x)+2k\pi }
tan
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arctan
(
x
)
+
k
π
{\displaystyle \tan(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arctan(x)+k\pi }
cot
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arccot
(
x
)
+
k
π
{\displaystyle \cot(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot}(x)+k\pi }
sec
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arcsec
(
x
)
+
2
k
π
or
y
=
2
π
−
arcsec
(
x
)
+
2
k
π
{\displaystyle \sec(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi }
csc
(
y
)
=
x
⇔
y
=
arccsc
(
x
)
+
2
k
π
or
y
=
π
−
arccsc
(
x
)
+
2
k
π
{\displaystyle \csc(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi }
مشتق تابعهای وارون مثلثاتی
مشتق ساده این نوع تابعها، به ازای x های مختلط و حقیقی به قرار زیر است:
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
d
d
x
arcsec
x
=
1
x
x
2
−
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}
رابطههای زیر ویژهٔ x های حقیقی است:
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
برای مشتق ساده اگر
θ
=
arcsin
x
{\displaystyle \theta =\arcsin x\!}
باشد، آنگاه داریم:
d
arcsin
x
d
x
=
d
θ
d
sin
θ
=
1
cos
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
استفاده از انتگرالهای معین
عبارت انتگرالی برابر با تابعهای وارون مثلثاتی به قرار زیر است:
arcsin
x
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arccos
x
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∫
0
x
1
z
2
+
1
d
z
,
arccot
x
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
arcsec
x
=
∫
1
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arcsec
x
=
π
+
∫
x
−
1
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≤
−
1
arccsc
x
=
∫
x
∞
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arccsc
x
=
∫
−
∞
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≤
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&{}=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\end{aligned}}}
سریهای نامتناهی
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز میتوان به کمک سریهای نامتناهی محاسبه کرد:
arcsin
z
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
π
2
−
(
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arctan
z
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arccot
z
=
π
2
−
arctan
z
=
π
2
−
(
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
(
1
/
z
)
=
π
2
−
(
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos {(1/z)}\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
arccsc
z
=
arcsin
(
1
/
z
)
=
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin {(1/z)}\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:
arctan
z
=
z
1
+
z
2
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
2
k
z
2
(
2
k
+
1
)
(
1
+
z
2
)
.
{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}
هشدار : به ازای n = ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل میشود که خود برابر با ۱ است.
همچنین در ادامه میتوان نشان داد که:
arctan
z
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
(
1
+
z
2
)
n
+
1
{\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {z^{\,2n+1}}{\left(1+z^{2}\right)^{n+1}}}}
انتگرال نامعین تابعهای وارون مثلثاتی
برای تمامی x های حقیقی و مختلط، رابطههای زیر برقرار است:
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
تمامی رابطههای بالا به کمک انتگرالگیری جزء به جزء قابل دستیابی است.
نمونه
با استفاده از
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
داریم:
u
=
arcsin
x
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}}
آنگاه:
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
با استفاده از تغییر متغیر :
k
=
1
−
x
2
.
{\displaystyle k=1-x^{2}.\,}
پس:
d
k
=
−
2
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
و
∫
x
1
−
x
2
d
x
=
−
1
2
∫
d
k
k
=
−
k
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
دوباره x را جایگزین میکنیم:
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
منابع
↑ واژههای مصوّب فرهنگستان تا پایان دفتر دهم فرهنگ واژههای مصوّب
جستارهای وابسته