ماتریس متقارن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر خطی ماتریس متقارن به ماتریس می‌گوینده که خودش با ترانهاده‌اش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:

A = A^{\top}. \,\!

درایه‌های ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (aij)، بنابراین

a_{ij} = a_{ji} \,\!

به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & -5\\
3 & -5 & 6\end{bmatrix}.

تمام ماتریس‌های قطری متقارن‌اند و تمام ماتریس‌های پادمتقارن درایه‌های قطر اصلی‌شان صفر است.

در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته می‌شود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار می‌رود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را می‌توان به صورت A = U D UT نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایه‌های نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان می‌دهد فرمیون‌ها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سی‌پی کاربرد دارد.

هر ماتریس مربعی را می‌توان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:

 X = \frac{1}{2}(X + X^{\top}) + \frac{1}{2}(X - X^{\top}) .

که ½(X + XT) ∈ Symn و ½(XXT) ∈ Skewn. برای تمام ماتریس‌های مربعی صدق می‌کند.

ماتریس تقارن‌پذیر[ویرایش]

یک ماتریس مربعی را زمانی تقارن‌پذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشته‌باشند که A = DS. ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر نیز تقارن‌پذیر است برای (DS)T = D−T(DTSD). ماتریس A = (aij) فقط زمانی تقارن‌پذیر است که در شرایط زیر صدق کند:

  1. a_{ij} = 0 \text{ implies } a_{ji} = 0 \text{ for all } 1 \le i \le j \le n.
  2. a_{i_1i_2} a_{i_2i_3}\dots a_{i_ki_1} = a_{i_2i_1} a_{i_3i_2}\dots a_{i_1i_k} \text{ for any finite sequence } (i_1, i_2, \dots, i_k).

جستارهای وابسته[ویرایش]

انواع دیگر تقارن در ماتریس‌های مربعی نام‌های خاص خود را دارند به طور مثال:

همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]