ماتریس متقارن

در جبر خطی ماتریس متقارن به ماتریس می‌گوینده که خودش با ترانهاده‌اش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:

$A = A^{\top}. \,\!$

درایه‌های ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (a_ij)، بنابراین

$a_{ij} = a_{ji} \,\!$

به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{bmatrix}.$

تمام ماتریس‌های قطری متقارن‌اند و تمام ماتریس‌های پادمتقارن درایه‌های قطر اصلی‌شان صفر است.

در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته می‌شود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار می‌رود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را می‌توان به صورت A = U D U^T نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایه‌های نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان می‌دهد فرمیون‌ها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سی‌پی کاربرد دارد.

هر ماتریس مربعی را می‌توان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:

$X = \frac{1}{2}(X + X^{\top}) + \frac{1}{2}(X - X^{\top}) .$

که ½(X + X^T) ∈ Sym_n و ½(X − X^T) ∈ Skew_n. برای تمام ماتریس‌های مربعی صدق می‌کند.

ماتریس تقارن‌پذیر

یک ماتریس مربعی را زمانی تقارن‌پذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشته‌باشند که A = DS. ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر نیز تقارن‌پذیر است برای (DS)^T = D^−T(D^TSD). ماتریس A = (a_ij) فقط زمانی تقارن‌پذیر است که در شرایط زیر صدق کند:

1. $a_{ij} = 0 \text{ implies } a_{ji} = 0 \text{ for all } 1 \le i \le j \le n.$
2. $a_{i_1i_2} a_{i_2i_3}\dots a_{i_ki_1} = a_{i_2i_1} a_{i_3i_2}\dots a_{i_1i_k} \text{ for any finite sequence } (i_1, i_2, \dots, i_k).$

جستارهای وابسته

انواع دیگر تقارن در ماتریس‌های مربعی نام‌های خاص خود را دارند به طور مثال:

• ماتریس هانکل
• ماتریس هیلبرت
• ماتریس کوکستر
• ماتریس کوواریانس
• ماتریس پادمتریک
• ماتریس پادمتقاران

همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.

منابع

• A. J. Bosch (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly 93 (6): 462–464. DOI:10.2307/2323471. http://jstor.org/stable/2323471. 
• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• An Online template for splitting a matrix into a symmetric and a skew-symmetric addend
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix