ماتریس متقارن

ماتریس متقارن در حال تقارن اعداد

در جبر خطی ماتریس متقارن (به انگلیسی: Symmetric matrix) به ماتریسی می‌گویند که خودش با ترانهاده‌اش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:

$A=A^{\top }.\,\!$

درایه‌های ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (a_ij)، بنابراین

$a_{ij}=a_{ji}\,\!$

به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است

${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.$

تمام ماتریس های قطری متقارن اند. تمام ماتریس‌های پادمتقارن درایه‌های قطر اصلی‌شان صفر است.

در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته می‌شود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار می‌رود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را می‌توان به صورت A = U D U^T نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایه‌های نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان می‌دهد فرمیون‌ها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سی‌پی کاربرد دارد.

هر ماتریس مربعی را می‌توان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:

$X={\frac {1}{2}}(X+X^{\top })+{\frac {1}{2}}(X-X^{\top }).$

که ½(X + X^T) ∈ Sym_n و ½(X − X^T) ∈ Skew_n. برای تمام ماتریس‌های مربعی صدق می‌کند.

ماتریس تقارن‌پذیر

یک ماتریس مربعی را زمانی تقارن‌پذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشته‌باشند که A = DS. ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر نیز تقارن‌پذیر است برای (DS)^T = D^−T(D^TSD). ماتریس A = (a_ij) فقط زمانی تقارن‌پذیر است که در شرایط زیر صدق کند:

1. $a_{ij}=0{\text{ implies }}a_{ji}=0{\text{ for all }}1\leq i\leq j\leq n.$
2. $a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}{\text{ for any finite sequence }}(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}).$

جستارهای وابسته

انواع دیگر تقارن در ماتریس‌های مربعی نام‌های خاص خود را دارند به طور مثال:

• ماتریس هانکل
• ماتریس هیلبرت
• ماتریس کوکستر
• ماتریس کوواریانس
• ماتریس پادمتریک
• ماتریس پادمتقاران

همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.

منابع

• A. J. Bosch (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly. 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471.
• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• An Online template for splitting a matrix into a symmetric and a skew-symmetric addend
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix