ماتریس هادامارد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، ماتریس هادامارد یک ماتریس مربعی است که همهٔ درایه‌هایش +۱یا −۱ هستند ردیف‌ها از دو طرف متعامد هستند به این معناست که هر دو ردیف متفاوت در یک ماتریس هادامارد بردار عمودی هستند این گونه ماتریس‌ها اکثرا به طور مستقیم برای کد تصحیح خطا با استفاده از کد هادامارد و همچنین توسط امارگران برای تخمین واریانس استفاده می‌شود

ویژگیها[ویرایش]

ماتریس هادامارد دارای درایه های 1 و -1 می باشد و فرم یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ n به صورت زیر بیان می‌شود: H^{\mathrm{T}} H = n I_n \ که In ماتریس همانی n × n می‌باشد بنابراین \det H =\pm n^{n/2}. می‌باشد. فرض کنید که M یک ماتریس مرکب از مرتبهٔ n باشد که همهٔ درایه‌هایش کراندار|Mij| ≤1 برای هر i, j بین ۰وn. بنابراین دترمینان هادامارد بیان می‌کند:

 |\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}.

مرتبهٔ یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ ۱و۲یا مضربی از ۴ می‌باشد

ساختار sylvester[ویرایش]

مثالهایی از ماتریس هادامارد اولین بار توسط جیم جوزف سیلوستر در سال ۱۸۶۷ ساخته شد. اگر ماتریس هاداماردH از مرتبهٔ n باشد انگاه به صورت:\begin{bmatrix} H & H\\ H & -H\end{bmatrix} جزءبندی شده‌است یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ 2n است این کار می‌تواند به صورت تکرای انجام و منجر به دنباله‌ای از ماتریس‌های زیر که ماتریس‌های والش نامیده می‌شوند.


H_1 = \begin{bmatrix}
1      \end{bmatrix},

H_2 = \begin{bmatrix}
1 &  1 \\
1 & -1 \end{bmatrix},

and


H_{2^k} = \begin{bmatrix}
H_{2^{k-1}} &  H_{2^{k-1}}\\
H_{2^{k-1}}  & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^{k-1}},

برای  2 \le k \in N که \otimes ضرب کرونکر(kroncker product) می‌باشد.

سیلوستر ماتریس‌های هادامارد را از مرتبهٔ ۲k که k هر عدد صحیح نامنفی، ارایه کرد.

ماتریس‌های سیلوستر چند ویژگی خاص دارند این ماتریس‌ها متقارن و بی اثر اند مقادیر در اولین ستون واولین ردیف همگی مثبت هستند مقادیر در دیگر ستون‌ها و ردیف‌ها به صورت هموار به مثبت و منفی تقسیم می‌شوند.

ساختار تناوبی[ویرایش]

اگر مقادیر ماتریس هادامارد را با استفاده از گروه هم‌ریختی با  \{1,-1,\times\}\mapsto \{0,1,\oplus\} متناظر کنیم می‌توانیم ساختار تناوبی ماتریس هادامارد را توصیف کنیم ابتدا ماتریس  F_n را  n\times 2^n در نظر می‌گیریم که ستون‌هایش اعدادn بیتی به ترتیب صعودی مرتب شدند  F_n را می‌توان به صورت بازگشتی تعریف کنیم با استقرا:
F_1=\begin{bmatrix}
0 & 1\end{bmatrix}


F_n=\begin{bmatrix}
0_{1\times 2^{n-1}} & 1_{1\times 2^{n-1}} \\
F_{n-1}             & F_{n-1}             \end{bmatrix}.

می‌توان با استقرا نشان داد که تصویر ماتریس هادامارد تحت هم ریختی بالا به صورت:
H_{2^n}=F_n^TF_n.
است.

فرضیه هادامارد[ویرایش]

مهم‌ترین سوالی در مورد ماترس هادامارد، موجودیت انهاست فرضیه هادامارد پیشنهاد می‌کند که یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ 4k برای هر عدد مثبت k وجود دارد ساختار سیلوستر در سال ۱۸۶۷ ماتریس‌های از مرتبهٔ ۱،۲،۴،۸،۱۶،۳۲ و غیره ارایه کرد پس ماتریس هادامارد از مرتبهٔ ۱۲و ۲۰ توسط هادامارد (در سال ۱۸۹۳) ساخته شد بعداً در سال ۱۹۳۳، ریماند پالی نشان داد که چگونه یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ q+1 کهq یک عدد اول به پیمانه ی ۴ برابر ۳، ساخت او همچنین ماتریس‌هایی از مرتبه 2(q+1) برای عدد اول q که به پیمانهٔ ۴ بربر ۱، ساخت. فرضیهٔ هادامارد به پالی نسبت داده شد. کوچکترین مرتبه‌ای که با روش پالی و سیلوستر ساخته نمی‌شود ۹۲ است روش‌های متعدد دیگری تا به حال برای ساختن ماتریس‌های هادامارد ارایه شده در حال حاضر ۶۶۸ کوچکترین مرتبه‌ای است که هیچ ماتریس هاداماردی برایش ساخته نشده‌است.

منابع[ویرایش]

ویکی‌پدیای انگلیسی